(14 8)

или для линии без потерь

где V,--v~iiL С

Можно показать, что переменное напряжение Vt, определяемое вы ражением (14.5), остается постоянным на протяжении прямых харак теристических зависимостей dzdi = ]/\/LC. а перепенное напря жение Vr, определяемое выражением (14.8), постоянно на протяжении обратных характеристических кривых dzldt - -- \!\LC. Физически Vi может интерпретироваться как амплитуда напряжения бегущей вол ны в направлении оси г, а Vy - как амплитуда волны распространяю щейся в противоположном направлении.

Переменными при анализе переходных процессов чинии передачи служат V, и V. Заметим, что

V (г-\г tЛl)- V (2 /) (14 9)

где Дг и Д/ связаны формулой (14 .i) Аналогично нз выражении (U 8) и (14 6) получаем

V (г-Дг, t 1 ДО-К (г /) (14 Ю)

Используя уравнения (14 9) и (14 10), можно определить напряже ния Vi и вдоль линии в момент времени / 1 Д/, если известны распределения этих напряжений вдоль линии в момент времени / Оедует заметить, что если линия простирается от г = О до г L то значения Vi (О, /) и Vr (Ь, /) не могут быть найдены нз уравнений (14.9) и (14.10) Эти значения определяются способом возбуждения отрезка линии передачи с обоих концов.

Напряжение и ток в произвольном сечении линии можно опреде пить по значениям V, и Vr.

v(z.t)-\Vi{z,t) \ VAz 012, Чг t) \V,(z l)-~Vr(z /)!(2Zo)

(14.11) (14 12)

где Zo V Lie - волновое сопротивление однородной линии

При численных опенках характеристик во временной области ли ния передачи разделяется на Л отрезков равной длины Sz с соответст вующими задержками, равными временному шагу St как показано на рис. 14.2. Временной интервал Д/-это шаг приращения времени, ис пользуемый в процессе анализа переходных характеристик схем. При анализе теперь записывается 2jV дифференциальных уравнении во временной области. На основании уравнения (И.9) имеем

V {п t)-- V,{n ~\ t Sf) л i.2 N (14 13)

Аналогично ич (14 10) получаем

lV(rt i)-V {п-\ \ -Si) n(N \) (Л/-2)

2 10 (14 14)

Рнс 14.2 Раздиюни пиннн ередачн на N отрезк )а Д1я анализа переходных процессов

В этих выражениях V, (п t) и Vr (п, t) обозначают напряжения Vi и Vr в различных точках липни передачи в момент времени /. Значения V> (О, /) и Vr {N, t) определяются переходными характеристиками четы рехполюсников, подключенных к входу и выходу линии соответственно. На основании определении 1", и 1" и в соответствии с рис 14.3а напряжение К, на входе можно записать в виде

(О О - MliMVilli. ф

(14 15)

где !Уи (/), (о (/) - выходные напряжения и ток схемы, подключенной к иходу линии передачи. В линейных схемах отношение {t)lio (t) может быть получено на основе анализа переходных процессов четырехполюсника на входе линии даже при неизвестном значении у„ (/). Ана югичное напряжение Vr иа выходе линии можно записать в виде

V iN t)-

(t (П 4(01 t Z.

\ iN t)

(14 16)

Как показано на рис. 14 3 6. величины u.v (/) и In (t) соответствуют входному напряжению и входному току четырехгюлюсника, подключенного к выходу линии передачи. Как и отношение (t)li (t) в формуле (14.15), значение отношения Vf (t)/i (t) в формуле (14.16) может быть найдено путем анализа во временной области четырех 1юлюсника на выходе линии

v, 1Ы,0 -

1 четхреталх! "

Рис Ui Вк

четырехполюсника в разрыв iicpejtaro

Часто требуется исследовать переходные процессы четырехполюс ника. к входным и выходным зажимам которого подключены линии передачи (рис. 14.4). В этом случае производится анализ схемы во временной области и определяются отношения v {t)li (О и и„ы1 W .(вы (/) в функции времени / Напряжение Vi{N,t) на входе / и Vr (0. t) на входе2 известны из анализа линий, подключенных к соответствующим входам. Напряжения Vr (N. t) на входе i и V, (О, /) иа входе 2 определяются из уравнений (14.16) и (14.15) соответственно. Эта значения используются для продолжения анализа линий передачи на следующем временном шаге в момент времени / 4 М

пример. Рассмотрим длинную чинию передачи, к одному кокку которой подключен сугласоваиный источник импульсов треугольной форми, а к другому - релнстивнаи нагрузка R» - (рнс, 14,5), Пусть суммарное время задержки в длинной лннин составляет 6 ис. Для проведении анализа во временной области разделим линию на 6 отрезков (,V - 6) и предположим, что при / - О по всей длине линии напряжения н токи огсутстнуют, т е

VH": 0) - (" *)- "1 2 .. . f>

В последующие моменты времени значения V, и рэссч (14.13) и (14,14) соответственно При ( - бдг Уг (п. О ос Для / - 7Л/

Vj (/1 7Д/) = [0, 15, 12, 9, Г, 3 Значение V, (гг. 7 М) рассчитывается по формуле (14 16)

Уг 7М)(0.Ы -Г„)(0,57„ bZn) 3 - - 1 1ля / 8Л/ получаем

V; (л 8i/)-I0 О 15 12 и, 61 (Л 8ДО-10. 0 0 0 -1 -2]

Распределечие напряжения вдоль лик с помощью формулы (14.11)

v (п йд/)- 0; О. 7 5; 6; 4. 2]

Уравнения (14,13). (14 14) н (14 16) t временной области.

т интервал времени ъ

i при дальнейшем

14 2 МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА (4, 5

Если имеется описание поведения линейной схемы в частотной об ласти, то ее характеристики во временной области могут быть найдены с помощью обратного преобразования Лапласа. Это возможно также и для линейной части схемы, содержащей нелинейные элементы Пусть

v{t)-\v,(t) vit) v,(t)V (14 17)

есть вектор описывающий напряжение на нагрузке а

(О - П,(0- . ., 1(01 (И.18)

- вектор, описывающий ток нагрузки. Пусть V {$) и I (s) являются преобразованиями Лапласа функций v (f) и i (t) соответственно. Если гюведенне схемы в частотной области описывается матрицей Y (s) то

I (s) - Y (s) V (s)

(14 19)

а [юведенне схемы во временной области может быть описано выражением

40 - y{t)*v{t)

(14 20)

где * означает свертку. Элементы матрицы у (/), являющейся обратным преобразованием Лапласа от Y (s), представляют собой импульсные характеристики. Существует несколько численных методов определения обратного преобразования, но все эти методы требуют, чтобы обратная функция при больших значениях s убывала по крайней ме ре, так же быстро как 1 s. По этой причине выражение (14 19) пере пишем в виде

1(5) A(s)sV(s)

A(s)-Y(s) ,9,

Во временной обаасти имеем 1(0-- a(/>*v(/l(;(/)+d(Ov(0)

(14 21) (14 22)

(14 23)

где v (/) ~ производная по времени вектора напряжения на выходе, V (0) - начальное значение; U {() - единичная ступенчатая функции; а () - матрица переходных характистик, являющаяся обратным преобразованием для А (s) Пусть - интервал между моментами

времени в которые рассчитывается реакния цепи Тогда выражение (14.23) можно записать в виде

М*) - Y i ;l)a(A-;))(v(;)v(y 1)1} \ a(A)u(0)

(14 24)

где (А), (/) и т. д .моменты времени (/ - k.m) {i - j\t) rf т. д. Для каждого значения j переходная характеристика аппроксимируется усреднением ее значений на конечных точках, а производная - разностей значении на этих конечных точках. Приращения времени нормируются относительно единицы (Л/ I). Заметим, что величина i (А) в формуле (14.24) может быть разделена на две части, одна нз которых относится к прошлой истории, а другая зависит от шачения v (А)

i(A) i {k) л g„v(fe) ftl 2 (И 25)

?„ a(l) - a(0) 2

i (k)-- у {\a{k 7 + n fa(A-;))v(;) v(; \)\]

(U26)

-g»v(A l)a(A)v(0) (14.271

Здесь gn представляет собой матрицу с [юстоянными элементами, определяющими переходную характеристику на первом интервале. Ток i„ ik) может рассматриваться как вектор источников тока, значения которых определяются предыдущими значениями v (А), Итак для заданного А известно значение i,, (А).

Таким обрачом, по формулам (14.25) (14.27) может быть рассчитана переходная характеристика. Основное требование здесь - вычисление матрицы переходной характеристики а (/). Переходные характеристики каждого элемента или компонента схемы определяются по их характеристикам. Ключевым шагом анализа является объединение отдельных переходных характеристик различных компонентов для определения матрицы переходных характеристик а (/) всей схемы в целом. Метод объединения переходных характеристик [5j рассматривается далее

Объединение подсхем Существует несколько методов анализа в частотной области (см. гл П), позволяющих 1юлучить суммарные ха рактеристики схемы объединением характеристик подсхем или компо нентов Если объединение подсхем производится в процессе анализа во временной области, желательно так выбрать описание схемы, чтобы можно было удобно получить результирующую матрицу схемы по опи санию ее составляющих. Если в частотной области матрицы двух ком понентов перемножаются (как в случае авсо-мзтрш при каскадном соединении четырехполюсников), то во временной области соответст вуюшей операцией является свертка двух составляющих матриц от кликов. Поскольку для выполнения свертки требуются сравнительно сложные вычисления то желательно избегать таких операций С дру

гой стороны если рассмотреть, на пример, схему, состоящую из двух компонентов, соединенных парал лельно, которые описаны матрица ми проводимостей, то реакция пол ной схемы задается матрицей прово димостей, являющейся суммой двух отдельных матриц. Поскольку пре образование Лаггласа суммы равно сумме преобразований Лапласа слагаемых то манипулировать с параллельным соединением во временной области очень удобно при использовании матриц проводимостей. По существу, подразумевает

ся, что полная матрица системы должна содержать только суммы или разности реакций отдельных компонентов (без произведений или част ных). Это достигается представлением каждого типа соединения в вн де некоторого параллельного соединения при котором У-матрицы могут непосредственно складываться.

Рассмотрим сначала параллельное соединение (рис 14.6) Здесь одна пара полюсов шестиполюсника соединяется параллельно с парой полюсов четырехполюсника и при этом образуется новый восьмипо люсннк Расположим матрицы двух подсхем и У* совместно в ви

Рис.

Пар.

входом 4 схе

>м >Л о о

К, У. У; О о

yf, v, о о ООО кЛ

ООО У{,

(14 28)

где индексы А. В, в элементах матрицы означают элементы матриц про водимостей подсхем А и В соответственно. Матрицу проводимости сое динения при обозначении входов 2, 3, 5 можно записать в простом

1 2)5

Н У:, К«/

у, о о V«,

(14 29)