Глава 3

Неклассические логики

3.1. Интуиционистская логика

Интуиционистская логика - это логика, для которой не выполняется один из основных законов классической логики, - закон исключенного третьего, т.е.

Отказ от этого закона привадит к признанию существования «третьей возможности». Но в таком случае, естественно, приходим к запрету доказывать теоремы методом от противного. Последнее привадит к отказу от аксиомы

h Ь-лл). (3.1)

Действительно, при доказательстве от противного предполагают, что верно на самом деле ~Л, и затем приходят к некоторому противоречию. Это показывает, что «не верно» ~<Л, т.е «верно» -т-Л Последнее позволяет утверждать, что «верно» Л. Иначе говоря, имеем утверждение (3.1).

Интуиционистская логика в философской форме была заявлена Брауэром (1908, 1918). Первое систематическое изучение интуиционистской логики была начато 22-летним великим советским математиком А.Н.Колмогоровым [16]. В виде формального исчисления ее впервые изложил Гейтинг (1930).

Так сказано в хрестоматии ван Хейеноорта «От Фреге до Гёделя» [52].

3.2. Нечеткая логика

Нечеткая логика отличается от двузначной классической логики тем, что допускает континуальное число истинностных значений для высказываний. В простейшем случае эти значения принадлежат отрезку [0,1] действительных чисел. Иначе говоря, между значением О, соответствующим классическому L (ложь) и 1, или Т (истина), имеется несчетное число промежуточных истинностных значений ае (0,1).

Нечеткая логика широко используется в современной прикладной математике и технических науках.

3.2.1. Нечеткие подмножества

Пусть Е некоторое фиксированное множество и М = [0,1] - отрезок действительных чисел.

Нечеткое подмножество А множества Е - это множество пар вида

{{х,,,а{х)):хеЕ}, (3.2)

где fj,a Е М - функндя.

Ecjffl М = {0,1}, то На Е М - обычная характеристическая функция. Поэтому в данном случае множество А отождествляется

с классическим канторовским подмножеством А = [х : л(ж) = 1}.

Пара (а;, л(ж)) интерпретируется как элемент х & Е, который принадлежит подмножеству А со степенью j1a{)- В классической теории множеств элемент х € Е либо принадлежит, т.е. 11а[х) = 1, либо не принадлежит (iia(x) = 0) подмножеству А. Третьего не дано! Для нечеткого множества есть и третье, и четвертое, и т.д. Налицо размытость, нечеткость подмножества А-

Множество М называется множеством принадлежности, а функция На - функцией принадлежности.

Обычные множества будем обозначать как А,В,С,а нечеткие множества - А,В, С,

Имеем

Е=Е={{х,1):хеЕ},

иначе говоря, /i = 1, и

9 {{х,о): x е Е],

ШШ /i0 = 0.

3.2.2. Операции над нечеткими подмножествами

Над нечеткими множествами можно исполнить такие же операции, как и над обычными.

Обьедипепие нечетких множеств у1 и J3 - это нечеткое множество

С=А и В,

для которого

/ic = maxj/iAi/s}. Аналогично имеем пересечение С нечетких множеств А и В

С=А П В,

если по определению

А*с = тт{ л,А*в}. Нечеткое множество J3 есть дополнение для у1, т.е.

В= А,

если

Ясно: А =А.

Если даны нечеткие множества А и В, то пишем АС1 В тогда и только тогда, когда

УхеЕ{[1.{х)<11.в(х)).