1.1.11. Силлогизмы

Силлогизм - это правило, позволяющее из (истинных) высказываний получать новые (истинные) высказывания. Приведем неполный список силлогизмов:

(Modus ponens)

ЛВ, ~.В

(Modus toUens)

АВ,ВС

Л, В

Л&сВ Л, В

ЛУВ, ~.В А

-{Л&сВ), Л

BiAC)

AjBC) ALBC

A&lBC AiBC)

1.2. Логика предикатов

Логика предикатов изобретена Готлобом Фреге. «Он считал ее универсальным языком, в котором можно было бы представить систематически и математически точным образом любую возможную форму рационального мышления, которая могла бы стать частью дедуктивного мышления» [38].

1.2.1. Предикаты и формулы

Логика предикатов - это расширение возможностей логики высказываний, позволяющее строить высказывания с учетом свойств изучаемых объектов или отношений между ними.

Одноместный предикат Р{х) - это утверждение об объекте ж, где X рассматривается как переменная. Иначе говоря, если в Р{х) вместо X подставить конкретный изучаемый объект а, то получаем высказывание, принадлежащее алгебре высказываний. В таком случае Р{а) = Т или Р{а) = L.

Многоместный предикат P{xi, ...,Хп) - это утверждение об объектах xi,...,Xn, где xi, ...,Хп рассматриваются как переменные. Следовательно, при подстановке Xi = ai,...,a;„ = а„ получим высказывание P(ai, ...,а„), являющееся истинным или ложным.

Расширение логики высказываний до логики предикатов получается за счет включения в формулы утверждений, являющихся предикатами. Но при этом, поскольку предикаты относятся к изучаемым объектам, мы обязаны включить в теорию и сами объекты ai,.....йп,... Поэтому, чтобы дать определение формул в логике предикатов, необходимо уточнить принципы описания в логике предикатов объектов. Делается это с помощью понятия терм.

Имеем следующее определение терма:

1) переменные Xi,Хп,... для объектов - это термы;

2) если /(•,...,•) функция п-переменных, ставящая в соответствие изучаемым объектам объект, и ti,...,tn термы, то f{ti,...,tn) терм.

Теперь можно дать определение формулы:

1) если Р(-, ...,•) п-местный предикат, а ti,...,t„ термы, то P{ti, ...,t„) (атомарная) формула;

2) если Л и В формулы, то (Л&сВ), {ЛУ В), {Л => В) формулы;

3) если Л формула, то ~iA формула;

4) если Л{х) формула, содержащая переменную х, то

\/хЛ{х), ЧхЛ{х) (1.4)

формулы.

Предикат [лат. praedicatum] - 1) сказуемое; 2) логическое сказуемое; то, что в утверждении высказывается об объекте [40].

Обращают внимание на себя необычные значки в формуле (1.4). Это кванторы. Знак V называется квантором всеобщности, а знак Е называется квантором существования. Ввел их в логику Ч.С.Пирс, хотя идея квантификации принадлежит Г.Фреге.

Символ Уж интерпретируется как фраза «для всех х», соответственно Еж - «существует х». Не стоит много говорить о том, что введение кванторов существенно обогащает язык и, следовательно, возможности логики предикатов.

Переменная х, входящая в формулу Л, называется связанной, если она находится под действием квантора Ух или Еж. В противном случае, переменная х в формуле Л является свободной. Например, в формулах

Еж(ж = у), УхВ{х,у)

переменная х связанная, а переменная у свободная.

Ясно, что формула без свободных переменных является высказыванием.

1.2.2. Интерпретации

За каждой формулой скрывается нечто, в связи с чем она была написана и о чем она повествует, то есть скрывается ее содержание. Содержательная часть формул, их смысл, * относится к специальному разделу логики, называемому семантикой. Выяснить содержание формулы можно обращаясь к реальному миру предметов. Делается это посредством интерпретации формулы.

Интерпретация состоит в указании конкретного непустого множества М, называемого областью интерпретации, и некоторого правила, по которому каждому п-местному предикату Р(-,•) ставится в соответствие п-местное отношение Р С М" в М, а функциям (операциям) п переменных /(•,...,•), участвующим в определении термов, конкретные функции (операции) / : М на М. При

По другим данным кванторы ввел Пеано [31, с.14]. * Слимсл - это внутреннее содержание, значение формулы, постигаемое разумом.

Семантика [гр. semanticos] - 1) смысловая сторона единиц языка -слов, частей слова, словосочетаний; 2) раздел логики, исследующий отношения логических знаков и составленных из них выражений (формул) к понятиям и предметам действительности [40].