|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 /(S>e) = 2-S-"+i() п=0 и оо и Lsf а, е) = 2 2 Cim+l/n-m(g). п=о т=0 Тогда, представляя As/ в виде ряда находим fn (S) = fn+i (g) + S Cim+l/n-ж (g) Ж, следовательно, / (S) = /i -f ii/o = /i + (/o, S,). Вводя аналогичным образом ряды Следовательно, из определения Es получаем соотношение /(z(g,e),e) = £s/(g,8), которое совпадает с (1.5.11). Интересным частным случаем правила , преобразования (1.5.11) является случай, когда (g, е) и /(g, е) представляются степенными рядами по е, т. е. 5(S,e) = 2 5«+1(?Ь (1.5.12) /(Se) = 2/n(S). (1.5.13) 71=0 В этом случае введем определение Ь, = Lj, (р.> 1), так что с помощью результатов предыдущего параграфа найдем находим и, следовательно, или, используя выражения для /о\ fi\ получаем fo(S) = /2 + 2 (/1, S,) + (/„, 5,) + ((/„, S,), S,). Таким образом, получаются общие рекуррентные формулы преобразования функции / (z, 8) при преобразовании, задаваемом рядами Ли с генератором S (z, е) в случае, когда обе эти функции являются вещественными аналитическими функциями всех переменных, а е берется из некоторой окрестности точки е = 0: fi (g) = /LVi4 2 C:Lm+,fiir\ (1.5.14) Эту формулу можно проиллюстрировать следующим символьным треугольником {» /2-/1 -/0 \ \ \ \ \ \ \ Интересным частным случаем является закон преобразования вектора z = coI(y,a;). Каноническое преобразование задается формулами У = 8(л) = 2-Й-о"(0), 6. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 39 где коэффициенты Vo"* = Vo" 0) и о"* = 0) определя- ются в результате описанной выше рекуррентной процедуры. В (1.5.15) очевидно Ло"* =г\ и Г = . Все описанные выше процедуры можно обобщить на случай явной зависимости канонического преобразования от времени. Один из способов получить этот результат заключается в том, чтобы принять время за добавочную каноническую координату, тогда сопряженным импульсом будет сам гамильтониан). Такой путь сразу же приводит к алгоритму, описанному детально в работе Депри [17]. 6. Эквивалентность преобразований В предыдущих параграфах мы описали несколько способов получения канонического преобразования в виде ряда по степеням параметра е. Такие преобразования можно записать в виде jr = jr(il, I, 8), Ж = ж(11, 1,8) (1.6.1) Z=-Z(?,8), (1.6.2) гдеж, у,т], I- п-мерные векторы, а z, ?- 2ге-мерные векторы. С помощью генератора, удовлетворяющего уравнению Гамильтона-Якоби, т. е. с помощью генератора, который требуется в методе теории возмущений Пуанкаре, преобразование (1.6.1) можно записать так: = + (S) = () 1 = + (У=1(т1,,е), (1.6.3) где W = W {г\,х,е) -производящая функция. Условие \¥{ц,х,0) = 0 (1.6.4) указывает на то, что преобразование (1.6.1) является преобразованием, близким к тождественному при достаточно малых е. Преобразование аналогичного типа, как было видно, осуществляется с помощью генератора •S= 5 (г/, ж, е), которому соответствует решение такой гамильтоновой системы дифференциальных уравнений: dS\ дх dx Ids dz \ду ) Гамильтониан со знаком минус {прим. перев.). 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [10] 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0376 |
|