где т - вспомогательный параметр. Таким образом, решения для Ffts (А; = 1, 2, ...) будут зависеть от решения такой системы уравненпй:

dy. дн, dx. ан,

dx dx. dx dy.

Эти уравнения соответствуют динамической системе с (п-1)-п степенью свободы и гамильтонианом H\s. Тем не менее, необходимо отметить, что надо найти только частное решение (в смысле Якобп) такой системы. Разумеется, если для некоторого значения {х,у) одна или более частных производных dHiJdxu равны нулю или малы (скажем, так же малы, как и е), то решение будет содержать особенности или малые делители п метод применять нельзя. Один из способов рассмотрения такой сптуа-цпи заключается в предноложенип о резонансности, и он будет описан в главе V. Здесь мы ограничимся изучением частного случая, когда одна из производных, например dH\Jdx2, является О {г), и рассмотрим разложение

F = Fq + z-Fx + 8F2 + гЕг + ... Из основного уравнения {F, Н) = О приравниванием членов одинакового порядка по е получаем

(Яо,о)=0, (Яо,1)=0, "0 2) I Idx, дуу -Г- dy~ • дх ду

dy, dXi dy dx: " ду дх

V--O . ду ~ \ дХу ду, "Г дх %2 дх ду

дН, dFi дН, dF, дН, dFi\

ду, дх, 5;/2 дх " ду дх.

= 0.

п п/

7 г. Е. о. Джакалья

И учитывая условие грз = О, определяем произвольную функцию F23 из соотношения

(13, FJ = -glri (is, -2?)%!= Фз5(г/2. ...,г/п,а;).

где Фза - известная функция.

Характеристики однородных уравнений в частных производных для Fu, ..., Ffts одинаковы при любом к и определяются формулами

(-ft.S - Fk2) =

при к = А, D, ... Теперь функция Fu - произвольная п может быть взята нулевой, так что автоматически получаем я]:з = О и, следовательно,

со?0

F3 = F3s(y2: Уп, Хи С другой стороны,

Fi = --Hi p + F,,

так что функция

443 = (Я1„ F,) + (Я,р, должна быть пулевой. Так как

-I Js

(0)0)2 51 I /

TO отсюда следует

и, например, функция F2s = О удовлетворяет этому требованию. В любом случае характеристики (для любого порядка) определяются уравнениями

с исчезнувшим требованием отсутствия малого делителя дНи/дх2.

II Т. Д. Если опять считать Яо = Ho(xi), Fq = Xi, то отсюда следует

(шЬ)2 J Г дх, ду, 2 ((О?)

и т. д. Прп каждом последовательном приближении характеристики остаются теми же самыми и не имеют каких-либо особенностей. Также ясно, что этот метод аналогичным образом можно применить и в случаях, когда больше чем одна производная дНи/дх мала.

Положим теперь Fo = Х2, так что функция F будет соответствовать интегралу Х2 в задаче Пуанкаре. В этом случае

о дР, дН,

так что

Однако подынтегральная функция дН\1ду2 может содержать члены, не зависящие от ух и, следовательно, в Fx будут секулярные члены, увеличивающиеся вместе с у х- Такие секулярные члены будут иметь вид

1 Г1

- -2/1+4-1 (г/2, •••,Уп,л;)

и они не будут равны нулю до тех пор, пока функция не станет независимой от у2. Следовательно, приходится отказаться от предположения Fo = Х2 и принять более общую форму

0 = fo(2/2, г/п,л;).

Если можно выбрать функцию Fo так, чтобы в высших приближениях отсутствовали секулярные члены, то можно получить по крайней iiepe формальный интеграл, а в конечном счете и сходящийся. Уравнение для функции F\ получается из соотношения

{Но, Fx) + {Hx,Fo)=0

и имеет вид

<о?и = (Я,.„).

Если р2в- о, то функция F2 полностью определена, а 4 имеет вид