![]() |
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 по л и f функцию и{г\, t). Действительно, рассмотрим разложения ц = «о + eui + eU2 +,.., Я, = Я,о + еЯ,1 + bKi + ..., = t) = u„{y]+2n, t) = uu{r], t + 2n) J dt \ u,,dv, = 0. о о Для коэффициентов ири е° находим 5? + lF° = -o--sin/(0 (3.5.13) и, следовательно, Я,о = 0. В силу сделанных предположений, можно написать что дает возможность определить ыо при условии, что \kQ-i\>B\k\-, (3.5.14) где А: - не равное нулю целое число, р - выбранное соответствующим образом положительное число, а / - произвольное целое число. Это утверждение будет рассмотрено в следующей главе в связи с полученными Мозером [33] результатами об отображениях кольца, сохраняющих площадь. В теории Мозера, кроме того, будет рассмотрена и проблема сходимости. Функции и, получающиеся при к-ж приближении по е, определяются как решение уравнений вида -2г + -Ж--+1рУ (3-5-15) если определить Я, = - Аоо\ что является типичным для методов усреднения. В результате получим Xi= bKi + + ... = eG(e, Q, со), т. е. u)-Q = e2G(e, Q, ©), откуда находим характеристический показатель в виде Q = Й(е, (о)= (o-be2Q2((o)-be33(co)-f.., Aft) (feco) ML -lftl(P-6) Если уравнение (3.5.1) рассматривается для п-мерного случая, т. е. z + Az = eB{t)z, где Z = col (zi, ..., z„), А - постоянная nXn-матрица, & B{t) - периодическая nXre-матрица, то вышеописанная процедура может быть применена в случае, когда все собственные числа матрицы Л различны (и, следовательно, не равшй нулю). Необходимо отметить при этом существенную трудность, заключающуюся в том, что уравнения, соответствующие уравнениям (3.5.6), не будут уравнениями только относительно неизвестной и, а являются уравнениями относительно всех других компонент вектора и и вектора v. Однако этот факт не мешает одновременному определению функций и ш V с помощью метода последовательных при-блилгений и обобщенной процедуры усреднения. 6. Замечания Выполнимость условия иррациональности S lAll (3.6.1) \i=i / где S = п -f- 1, может быть установлена в следующей теореме, сформулированной в работе Хинчина [23] и обсуждавшейся также в работе Коксмы [24]. Теорема. Почти каждый вектор ш = (coi, ..., ш„) удовлетворяет выписанным выше неравенствам (3.6.1) для всех ненулевых целочисленных векторов к = (к„ ...,А;„) и выбранной соответствующим образом величины Я(ш)> 0. Доказательство теоремы является весьма простым и опирается на тот факт, что неравенства (3.6.1) не выполняются только в резонансных областях, ширина которых меньше 2К где fej = SlA:j, для данных Л, Я и со из ограниченной области Q((o). Этот факт очень сильно влияет на сходимость итераций, так как, считая функцию F{z) аналитической (см. уравнение (3.2.20)), ползгчаем, что ее коэффициенты/(ft) убывают экспоненциально быстро, т. е. для некоторых положительных вещественных чисел М, р имеем \Uu)\<Me-P, и, следовательно, из (3.2.22) получаем в этой окрестности можно ввести новые переменные х, у с помощью аналитического канонического преобразования, определяемого функцией S, а гамильтониан тогда принимает вид Я {у, X) = Я*> {у, X) = {х) + Н\ (у, X), где соотношение Hi\\Hi\ дает начало квадратичной сходимости ньютоновского типа, что обсуждалось в работах Нэша [37] и Канторовича [22]. Такой подход изменяет характер сходимости последовательных приближений, который был указан после уравнения (3.2.1) и где было получено только линейное сжатие, так же как и при классическом подходе в методе Пуанкаре. Оценки из леммы 1 могут быть получены с помощью процедуры мажорирования, однако, как указывал Мозер [35], оценки с помощью мажорирующих рядов не приводят к сходимости. Оценки Мозера привели к мажорирующим рядам 2 (р-)* t, которые расходятся для всех ц >> 0. В модифицированном методе Ньютона, предложенном Колмогоровым, точность увеличивается как степень двух и предыдупще ряды заменяются на ряды 2(рО* lt которые сходятся при достаточно малых р- >> 0. Как указывал сам Колмогоров, его теорема непосредственно применима в некоторых классических задачах динамики, например, в следующих задачах. а) Движение точки на аналитической поверхности, мало отличающейся от поверхности вращения или от поверхности эллипсоида. б) Плоское движение (планетарный случай) астероида под действием притяжения Солнца и Юпитера. Хотя в этой задаче гамильтониан невозмущенного движения имеет вид (в равномерно где р = 2п + 3, а L, б - выбранные соответствующим образом постоянные. Это приводит к сходимости ряда для производящей функции метода Пуанкаре S в кольце Г(р - б). Колмогоров [25] предложил следующий подход к решению вопроса о сходимости последовательности канонических преобразований, определяемых функцией S. Рассмотрим инвариантный тор Т{<й*) возмущенной системы; движение на нем будет условно-периодическим с заданными заранее частотами ю* =((0ь ••• • ..,(в), удовлетворяющими условиями (3.6.1). Тор Т{&*) расположен в окрестности соответствующего тора невозмущенной системы, определяемой гамильтонианом Нд{х), т. е. x*=x + 0{\i), (0*= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [53] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.028 |
|