det i

дх.дх

То отсюда следует, что для аналитической функции Н = Но-}--\-цНх, достаточно малых \х и для всех coi, шг, рационально независимых и удовлетворяюпщх условию \т1Ы1-{-т2Ы2\ К при всех не обращающихся одновременно в нуль целых m-i, ттгг, существуют инвариантные торы

х. = Л(Г1, Fa). j/.= У. + Ф.(Г1, Уг) (к 1,2),

Неподвижная точка, следовательно, окружена замкпутылш аналитическими инвариантными кривыми, сколь угодно малыми, т. е. она устойчива. Такие кривые покрывают область ненулевой меры, и начало координат для них является точкой накопления. Однако они не покрывают целиком любую заданную окрестность начала координат. Между ними существуют зоны неустойчивости, получающиеся из-за существования таких окрестностей, что величина а{г) соизмерима с 2я (см. [3]). В действительности под действием возмущений от членов высшего порядка часть окружностей переходит в четное число неподвижных точек, половина из которых - точки эллиптического типа, а половина - гиперболического типа [5]. Из точек гиперболического типа рождаются орбиты, известные под названием «хаотических движений», как и предполагалось в работах Пуанкаре и как недавно показал Денби [7].

3. Теоремы Мозера

Рассмотрим сначала систему с двумя степенями свободы {п - 2). Условно-периодические орбиты описываются формулами

yk==(k{4,4)t + yl хи = х1 (Л = 1,2). (4.3.1)

Тор можно получить двумя путями: как прямое произведение двух окружностей с радиусами х п Х2 ж с помощью квадрата в плоскости г/1, г/2. Второй путь проще и лучше обозрим в многомерных случаях. Если значения г/i и г/2 брать по модулю 2л, то можно отождествить противоположные стороны квадрата, т. е. точки (О, г/г) и (г/1, 0) с точками (2л, г/г) и (г/,, 2л) соответственно. Таким образом, тор имеет классическое огфеделенпе через соотношение эквивалентности. Траектории являются отрезками пря--мой липип, наклоненной к оси г/i под углом шг/шь Ясно, что если величина сог/со! иррациональна, то траектортш покрывают весь квадрат и являются условно-периодическими (эргодический поток). В любом случае решения остаются на торе, который, следовательно, инвариантен по отношению к потоку.

Если предположить выполненным условпе Колмогорова

а решенпе на каждом торе определяется формулами Yh ==

+ Yk- Этот факт можно выразить иначе, сказав, что эргодический

поток может быть непрерывным при возмуш;ениях.

Сведёнпе этой проблемы к изучению сохраняюш;его плопцадь отображения множества на себя дает определенные преимуш;ест-ва, которые следуют из геометрических свойств такого отображения. Проводниками геометрической линии исследования являлись Пуанкаре [31], Биркгоф [5] и Мозер [24, 26, 27].

Рассмотрим задачу Мозера о сохраняющем площадь отображен нии кругового кольца на себя. Для данного кругового кольца Л {О = а = г Ь) рассмотрим отображение

[ Э* = Э + ю (г),

(4.3.2)

где dwidr > О, г А.

Такое отображение не изменяет окружностей, а просто вводит поворотпа угол со (г), увеличивающийся вместе с г. Рассмотрим теперь возмущенное отображение

0* = е-Ьсо(г)-Ь/(г, 9),

где \F{r,b) \ < со (г) для всех 9, G(r, 9) < г для А ш периодических по 9 (периода 2я) функций F, G. Тогда можно показать, что прп некоторых условиях на со (г), F, Q и прп Uo и {/,• сохраняющих площадь, отображение U [отображение кручения) имеет замкнутые инвариантные кривые, которые близки к инвариантным окружностям отображения Uq. Одним из существенных условий является то, что величина со должна быть несоизмерима с 2л. Связь этого результата с консервативными системами с одной степенью свободы очевидна. Действительно, инвариантными множествами интегрируемой одномерной гамильтоновой системы являются окружности.

Теперь рассмотрим систему с двумя степенями свободы, соответствующую гампльтонпану

Я = Hoixi, Х2) -f- \1{Ни(х1, Х2) -f- Hif(xu Х2, уи г/г)},

который аналитичен в некоторой области D фазового пространства и периодичен (с периодом 2я) относительно г/i и г/г, а р < Цо, где О Ро 1. Пусть условия теоремы Колмогорова выполнены, и в области D справедливо: дНо/дхчФО. Следовательно, можно решить уравнение

Яо (хи Х2) -f- рЯ] (хи Х2, уи У2) = h - const

ЁЕ1 iHi- HJdH i£ Г4 3 6

где R определяется формулой (4.3.5). Определим величины г/2 == т, Ж! = X, г/1 = у,

так что, обозначив штрихом дифференцирование по т, имеем ед-стему

с гамильтонианом

К = Кй{х) + \1Кх{х, у, т, ц).

В пространстве переменных х, г/, т изучение решений систеы (4.3.7) может быть сведено к изучению отображения плоскости т = О в плоскость т = 2л. Такое отображение полностью определяется системой уравнений (4.3.7). Пусть при т=0 имеютс} начальные условия х - х, у = г/о, лежащие в области D, а соответствующее решение уравнений (4.3.7) имеет вид

а: = ф(т, Хо, г/о, ц), г/ = гз(т, xq, г/о, fx). (4.3.8)

Тогда отображение определяется формулами

X* = ф(2л, з:, I/, ji),

у* = {2п,х,у,у,). (4.3.9)

При х = О отображение Го имеет вид

х* = фо (2л, з:, г/) = ф (2л, х, у, 0), I,* = гзо (2л, з:, г/) = (2л, а:, г/, 0),

относительно Х2 и найти

Х2 = К (хь г/1, г/2, h, ji), (4.3.4)

где Z - аналитическая функция в некоторой области В{{х\, lll < о} и она периодична по г/i, г/2 с периодом 2л. Тогда можно разложить К в степенной ряд относительно В действительности нам достаточно знать, что при сделанных предположениях можно написать

R = Ko(xx,}i)ArKx{xu Уи г/2, h, ц). (4.3.5)

Теперь, исключив переменную Х2, можно также исключить из системы время. Действительно,