У =У{Уо, t), х=х(у„ х„ t).

В этом случае отображенпе М имеет интеграл Н{у, ж), который инвариантен относительно отображения М. Обратно, если отображение М обладает интегралом, то

М° - тождественное, М = М, М+ = ММ

и само М может быть приведено к нормальной форме с помощью сходящегося преобразования Биркгофа. Основы доказательства этого утверждения были заложены Биркгофом [4]. За большими деталями мы отсылаем читателя к статье Мозера [25] об интегрируемости отображений.

Что касается приведения к нормальной форме системы

k=fkix) (fe = 1, п)

в окрестности положения равновесия х ~0,то сходимость преобразования, описываемого рядами, может быть легко установлена. Если

(х) = 2 CfejX; + члены высшего порядка,

рых имеет место сходимость преобразования Биркгофа, оказываются исключительными в том смысле, что они образуют множество, которое является объединением бесконечного числа нигде не плотных множеств. Стоит упомянуть результат Рюсмана [32], который показал, что если система дифференциальных уравнений, соответствующих гампльтонпану (4.6.1), допускает аналитический интеграл

где V1P2 - V2i Ф О, то преобразование Биркгофа сходится. Это оправдывает тот факт, что интегрируемые гамильтоновы системы в окрестности положения равновесия можно определить как системы, для которых преобразование Биркгофа сходится.

Связь между гамильтоновыми системами и сохраняющими меру отображениями устанавливается легко. Если дано такое отображение Ж, что М° - тождественное отображение, М = М, Л/"*" = - мМ", то отображению М соответствует решение гамильтоновой системы

У=Н{у,х), х-=-Ну{у.х),

т. е.

и собственные значения Яь ..., л„ матрицы {сы} различны между собой, то существует постоянная неособенная матрица Р, такая, что

p-iCP = diag (Я,, Я„) =.Я, и в окрестности точки ж = О мы получаем такой вид уравнений:

ж = Яж 4- ф (х).

Если --гО при27й2, где Д - целые числа, то су-

ществует преобразование х - уг{у), приводящее исходную систему к виду

Сходимость можно установить, если все Re Я* имеют один и тот же знак, так как в этом случае нетрудно показать, что все малые делители задачи, т. е. величины 2/ i отделимы от нуля. Ясно, что вышеупомянутое предположение не может быть выполнено в гамильтоновой системе. Однако для неконсервативных систем в общем случае нормализация является более простой процедурой, чем применение рядов метода Ли, и оба этих метода приводят к одинаковому результату.

Ясная связь между приведением к нормальной форме и устойчивостью устанавливается с помощью следующей теоремы (см. [36]). Пусть Z) - ограниченная в С" область, содержащая

начало координат, и пусть решение уравнений z==f{z), z = = (Zi, ..., z„), где / (z)- аналитическая в D функция и / (0)= О, остается в D.

Теорема. Если решения системы уравнений z=f{z),z{0) - = ZqD остаются в D при всех t и при всех z е D, то в окрестности D {D cz D) нуля существует такая замена переменных

Z = и () = -}- члены высшего порядка,

что преобразованная система дифференциальных уравнений

имеет вид % = А, где А - постоянная диагональная матрица, собственные значения которой имеют нулевые вещественные части.

Теорема Мозера об инвариантных кривых становится проще для понимания, если рассматривается для двумерной системы, т. е. на плоскости. Рассмотрим кольцо А{К R < 2}, ще R == х у.

Если 9 - полярный угол, то dx dy =R dQ.

Отображение кручения определяется формулами

f Д* = Д, м I

где f, g - 2л-периодические функции 9. Отображение М определено в кольце А. Наличие малого параметра е не обязательно, но здесь для удобства мы выбрали именно этот вид отображения. Если отображение Мс сохраняет площадь, то для данного рационального числа, заключенного между (1)/2л < p/q и (2)/2л > p/q,

существует 2q неподвижных точек отображения Ml, удовлетворяющих условиям

R = R, 9 = О + 2пр

для достаточно малых 8. В теореме Мозера рассматриваются возмущения таких окружностей R - const, для которых число {R)/2n является иррациональным, и эта теорема может быть сформулирована следующим образом (случай «малых возмущений»).

Теорема. Пусть ((R) ФО для RA и пусть любая кривая Г, окружающая окружность R = I, пересекается со своим образом, т. е. с кривой Г*==Л/е(Г). Функции fug предполагаются достаточно гладкими. Тогда для любого данного числа со, заключенного между ({i) и {2), не соизмеримого с 2п и удовлетворяющего неравенствам

\qa-2np\ >C\q\-

для всех целых р, q ф О, существует дифференцируемая замкнутая кривая

Я = (ф, 8), 9 = ф-ЬС(ф, 8),

где функции F, G имеют период 2л относительно ф, которая инвариантна относительно отображения М при условии, что е - достаточно малая величина. Более того, образ каждой точки кривой Г получается заменой ф иа ф -{- м.

Отображение Mq очевидно сохраняет площадь, и окружности R = const инвариантны относительно Мо. Важно, чтобы выполнялось условие кручения: -(i?) Ф О, RA. Основным свойством отображения Мо является то, что каждая окружность для любого i(R), соизмеримого с 2л (т. е. /2л = p/q), состоит из неподвижных точек отображения м. Каждая окружность, для которой величина ( не соизмерима с 2л, плотно покрывается образами любой точки при отображении Мо. Мозер рассмотрел возмущенное отображение кручения

i?*=i? + e/(i?, е, 8),

е* = е-ь y(i?)-f8g(i?, е, 8),