![]() |
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 У =У{Уо, t), х=х(у„ х„ t). В этом случае отображенпе М имеет интеграл Н{у, ж), который инвариантен относительно отображения М. Обратно, если отображение М обладает интегралом, то М° - тождественное, М = М, М+ = ММ и само М может быть приведено к нормальной форме с помощью сходящегося преобразования Биркгофа. Основы доказательства этого утверждения были заложены Биркгофом [4]. За большими деталями мы отсылаем читателя к статье Мозера [25] об интегрируемости отображений. Что касается приведения к нормальной форме системы k=fkix) (fe = 1, п) в окрестности положения равновесия х ~0,то сходимость преобразования, описываемого рядами, может быть легко установлена. Если (х) = 2 CfejX; + члены высшего порядка, рых имеет место сходимость преобразования Биркгофа, оказываются исключительными в том смысле, что они образуют множество, которое является объединением бесконечного числа нигде не плотных множеств. Стоит упомянуть результат Рюсмана [32], который показал, что если система дифференциальных уравнений, соответствующих гампльтонпану (4.6.1), допускает аналитический интеграл где V1P2 - V2i Ф О, то преобразование Биркгофа сходится. Это оправдывает тот факт, что интегрируемые гамильтоновы системы в окрестности положения равновесия можно определить как системы, для которых преобразование Биркгофа сходится. Связь между гамильтоновыми системами и сохраняющими меру отображениями устанавливается легко. Если дано такое отображение Ж, что М° - тождественное отображение, М = М, Л/"*" = - мМ", то отображению М соответствует решение гамильтоновой системы У=Н{у,х), х-=-Ну{у.х), т. е. и собственные значения Яь ..., л„ матрицы {сы} различны между собой, то существует постоянная неособенная матрица Р, такая, что p-iCP = diag (Я,, Я„) =.Я, и в окрестности точки ж = О мы получаем такой вид уравнений: ж = Яж 4- ф (х). Если --гО при27й2, где Д - целые числа, то су- ществует преобразование х - уг{у), приводящее исходную систему к виду Сходимость можно установить, если все Re Я* имеют один и тот же знак, так как в этом случае нетрудно показать, что все малые делители задачи, т. е. величины 2/ i отделимы от нуля. Ясно, что вышеупомянутое предположение не может быть выполнено в гамильтоновой системе. Однако для неконсервативных систем в общем случае нормализация является более простой процедурой, чем применение рядов метода Ли, и оба этих метода приводят к одинаковому результату. Ясная связь между приведением к нормальной форме и устойчивостью устанавливается с помощью следующей теоремы (см. [36]). Пусть Z) - ограниченная в С" область, содержащая начало координат, и пусть решение уравнений z==f{z), z = = (Zi, ..., z„), где / (z)- аналитическая в D функция и / (0)= О, остается в D. Теорема. Если решения системы уравнений z=f{z),z{0) - = ZqD остаются в D при всех t и при всех z е D, то в окрестности D {D cz D) нуля существует такая замена переменных Z = и () = -}- члены высшего порядка, что преобразованная система дифференциальных уравнений имеет вид % = А, где А - постоянная диагональная матрица, собственные значения которой имеют нулевые вещественные части. Теорема Мозера об инвариантных кривых становится проще для понимания, если рассматривается для двумерной системы, т. е. на плоскости. Рассмотрим кольцо А{К R < 2}, ще R == х у. Если 9 - полярный угол, то dx dy =R dQ. Отображение кручения определяется формулами f Д* = Д, м I где f, g - 2л-периодические функции 9. Отображение М определено в кольце А. Наличие малого параметра е не обязательно, но здесь для удобства мы выбрали именно этот вид отображения. Если отображение Мс сохраняет площадь, то для данного рационального числа, заключенного между (1)/2л < p/q и (2)/2л > p/q, существует 2q неподвижных точек отображения Ml, удовлетворяющих условиям R = R, 9 = О + 2пр для достаточно малых 8. В теореме Мозера рассматриваются возмущения таких окружностей R - const, для которых число {R)/2n является иррациональным, и эта теорема может быть сформулирована следующим образом (случай «малых возмущений»). Теорема. Пусть ((R) ФО для RA и пусть любая кривая Г, окружающая окружность R = I, пересекается со своим образом, т. е. с кривой Г*==Л/е(Г). Функции fug предполагаются достаточно гладкими. Тогда для любого данного числа со, заключенного между ({i) и {2), не соизмеримого с 2п и удовлетворяющего неравенствам \qa-2np\ >C\q\- для всех целых р, q ф О, существует дифференцируемая замкнутая кривая Я = (ф, 8), 9 = ф-ЬС(ф, 8), где функции F, G имеют период 2л относительно ф, которая инвариантна относительно отображения М при условии, что е - достаточно малая величина. Более того, образ каждой точки кривой Г получается заменой ф иа ф -{- м. Отображение Mq очевидно сохраняет площадь, и окружности R = const инвариантны относительно Мо. Важно, чтобы выполнялось условие кручения: -(i?) Ф О, RA. Основным свойством отображения Мо является то, что каждая окружность для любого i(R), соизмеримого с 2л (т. е. /2л = p/q), состоит из неподвижных точек отображения м. Каждая окружность, для которой величина ( не соизмерима с 2л, плотно покрывается образами любой точки при отображении Мо. Мозер рассмотрел возмущенное отображение кручения i?*=i? + e/(i?, е, 8), е* = е-ь y(i?)-f8g(i?, е, 8), 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [72] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0306 |
|