WjcoA

.Идеальная .Реальная

Wi COi 0 ши W2 CO

Рис. 5.1. Идеальная и реальная амплитудно-частотные характеристики полосно-про-пускающего фильтра.

мированных функций нижних частот переменной S с помощью преобразования [16J

(5.1)

Таким образом, порядок полосно-про-пускающего фильтра в 2 раза выше, чем порядок соответствующего ему фильтра нижних частот и, следовательно, всегда является четным. Результирующая амплитудно-частотная характеристика полосио-пропускающего фильтра обладает центральной частотой (Оо и полосой пропускания BW и имеет сходство с характеристикой фильтра нижних частот, сдвинутой вверх

\НОш)\

,5 0) рад/с

Рис. 5,2. Амплитудно-частотные характеристики полосно-пропускающего фильтра Баттерворта четвертого порядка.

1,0 0,5

О 0,5 1,0 1,5 ш,рад/с

Рис. 5.3. Амплитудно-частотные характеристики полосно-пропускающего фильтра Чебышева четвертого порядка с неравномерностью передачи 1 дБ.

Рис. 5.4. Амплитудно-частотная характеристика реального (Ьильтоа Баттерворта четвертого пооядка.

Рис. 5.5. Амплитудно-частотная характеристика реального фильтра Чебышева четвертого порядка с неравномерностью передачи 0,5 дБ.

Рис. 5.6. Амплитудно-частотная характеристика реального полосно-пропускающего эллиптического фильтра.

по частоте от О до щ. Таким образом, амплитудно-частотная характеристика по-лосно-пропускающего фильтра Баттерворта (полученная из функции Баттерворта нижних частот) изменяется монотонно в любую сторону от своего максимального значения и имеет максимально плоскую полосу пропускания, как показано на рис. 5.1. Полосно-нропускающий фильтр Чебышева обладает пульсациями в полосе пропускания, полосно-нропускающий инверсный фильтр Чебышева - пульсациями в полосах задерживания, а полосно-нропускающий эллиптический фильтр содержит пульсации как в полосе пропускания, так и в полосах задерживания. В каждом случае центральная частота и частоты среза связаны следующим соотношением:

:=-o(- + /i+-);

(5.2)

На рис. 5.2 и 5.3 изображены примеры амплитудно-частотных характеристик фильтра Баттерворта четвертого порядка и фильтра Чебышева четвертого порядка с неравномерностью передачи 1 дБ для частоты (йо=1 рад/с и различных значений добротности Q. Из этих результатов следует, что увеличение добротности Q приводит к более узким полосам пропускания.

Примеры реальных амплитудно-частотных характеристик нолосно-нропускающего фильтра показаны на рис. 5.4 и 5.5. Это характеристики соответственно фильтра Баттерворта четвертого порядка и фильтра Чебышева четвертого порядка с неравномерностью передачи 0,5 дБ с добротностя-ми Q=5.

Реальная амплитудно-частотная характеристика полосно-нропускающего эллиптического фильтра четвертого порядка приведена на рис. 5.6. Он имеет значение добротности Q, равное 10, неравномерность передачи в полосе пропускания 0,5 дБ н минимальное затухание в полосах задерживания 40 дБ. Поскольку последнее значение велико, то пульсации в полосах задерживания трудно различимы, так что, кроме крутизны среза, эта характеристика очень похожа на характеристику фильтра Чебышева.

5.2. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

Так как передаточные функции полос-но-пропускающих фильтров получаются с помощью использования преобразования вида (5.1) соответствующих функций нижних частот, то передаточная функция по-лосно-пропускаюшего фильтра будет состоять из произведения сомножителей, каждый из которых получается из сомножите-

ля функции нижних частот. Для сомножителя функции нижних частот первого порядка

соответствующий сомножитель полосно-нропускающего фильтра представляет собой функцию второго порядка вида

KC(o,s/Q

(5.4)

где С - нормированный коэффициент соответствующего звена нижних частот первого порядка, приведенный в приложении А для фильтров Баттерворта и Чебышева, в приложении Б - для инверсного фильтра Чебышева и в приложении В - для эллиптического фильтра.

Полосно-пронускающий фильтр второго порядка получается в том случае, когда соответствующий фильтр нижних частот имеет первый порядок. Таким образом, эта функция нижних частот описывается единственным уравнением (5.3) с С=1. В этом случае из (5.4) получаем передаточную функцию

полосно-нропускающего фильтра второго порядка.

Передаточную функцию вида (5.5) можно определить как функцию полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева второго порядка, поскольку уравнение (5.3) при С=1 описывает функцию Баттерворта или масштабированную функцию Чебышева нижних частот первого порядка. Однако на (5.5) обычно ссылаются как на передаточную функцию полоспо> пропускающего фильтра второго порядка, а их наименования, а именно Баттерворта, Чебышева, инверсная Чебышева и эллиптическая, используют для полосно-нропускаю-щих фильтров более высокого порядка.

Получаемые из функций нижних частот второго порядка сомножители передаточных функций нолосно-нропускающих фильтров Баттерворта или Чебышева имеют следующий вид:

(KCco„7Q=)s=

2

V, -f (Bco„/Q) -f (2+ C/Q=) io„=s= +

"* +(B</Q)5-bw„* -

где В и С - соответствующие коэффициенты нижних частот из приложения А. В (5.4) значение К определяет коэффициент усиления звена, а в (5.6) К - обший коэффициент усиления двух звеньев второго порядка, соединенных каскадно для реализации функции четвертого порядка.

Передаточную функцию, заданную уравнением (5.6), можно представить в ви-

де произведения двух функций второго порядка [4]:

(У) (A>pKC/Q)s (5g,

1 -ifc + 4Q + V(C + 4Q=)= - (2BQ)=

В V 2

(5.9)

D = .

(5.10)

Таким образом, для каждого сомножителя второго порядка в соответствующем фильтре нижних частот передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева с порядком rv=4, 6, 8 ... будет содержать сомножители, один из которых описывается уравнением (5.7), а другой - уравнением (5.8); Ki и Kz представляют собой коэффициенты усиления двух полосио-пропускающих звеньев и должны выбираться таким образом, чтобы KiK2=K.

Типовую передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка или звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева более высокого порядка можно записать в следующем виде:

1/, s-fKs+W

2 »

(5.11)

где параметры р, Р и y получаются с помощью приравнивания уравнения (5.11) к соответствующим уравнениям (5.4), (5.5), (5.7) или (5.8).

Интересно отметить, что параметр Е представляет собой добротность Q каждого звена fcm. (5.7) и (5.8)]. Как и для фильтров нижних и верхних частот, для реализации высоких значений Q обычно требуются высококачественные схемы.

Для иллюстрации применения (5.11) предположим, что необходимо получить передаточную функцию полосио-пропускаю-щего фильтра Баттерворта четвертого порядка с коэффициентом усиления К=А, центральной частотой соо=1 рад/с и Q-Ъ. Из приложения А находим, что В= = 1,114214 и С=1. Поскольку соответствующий фильтр нижних частот имеет только одно звено второго порядка, получим,что для одного сомножителя уравнение (5.11) имеет вид (5.7), а для другого- (5.8). Определим числители уравнений (5.7) и (5.8), выбирая произвольно значения Ki = =Ki=2, так чтобы KiKi=K. Из (5.9) находим £=7,088812, которое совместно с В

и Q в (5.10) дает £)= 1,073397. Эти величины определяют знаменатели. Тогда уравнения (5.7) и (5.8) имеют вид:

0,4s

s=-f 0,151421s-f 1.152181,,

0,4s

s2 +0,131421s+ 0,867919

Для эллиптических и инверсных Чебышева полосно-пропускаюших фильтров передаточную функцию можно также представить в виде произведения функций второго порядка. Если же соответствующий фильтр нижних частот имеет нечетный порядок, то получаемый из функции нижних частот первого порядка сомножитель полосно-пропускающего фильтра описывается уравнением (5.4), который, как было определено ранее, является частным случаем уравнения (5.II). Два сомножителя, соответствующие каждому сомножителю фильтра иижиих частот второго порядка, имеют следующий вид:

К.КСД(5=+дю/) ,5

«= + (Doi„/£)s + Z)W

s + (w„/DE)s + ,,yD -

где Е и D определяются из (5.9) и (5.10), а

Ai=1 + {Л+ГЖ+1Ш). (5.14)

Коэффициенты А, В и С представляют собой коэффициенты нормированных функций иижиих частот в приложении Б или В, а Ki и К2 - коэффициенты усиления звеньев.

Обобщенное представление уравнений (5.12) и (5.13)

У, Р(°+аО

V, s= + Pco„s + Yco„= •

по виду идентично функции нижних частот (3.16) при условии, что частота (Оо заменяется на СОс.

5.3. ШИРИНА ПЕРЕХОДНЫХ ОБЛАСТЕЙ

В § 5.1 было установлено, что полос-ио-пропускающий фильтр обладает двумя полосами задерживания 0:cocui и сосог, где 0)1 и 0)2 - выбранные частоты. Существуют также две переходные области, а именно нижняя переходная область о,< <0)<<Bi, с шириной

TWi,=o) 1,-0)1 (5.16)

и верхняя переходная область ш<а><(а2 с шириной

TWi7=cu2-о)гг. (5.17)