Для получения передаточной функции полосно-нропускающего фильтра используется преобразование функции нижних частот вида (5.1), которое также связывает ширину переходных областей полосно-нропускающего фильтра и соответствующего ему фильтра нижних частот. В результате получаем, что

fTW -{V{l-j-TWf + 4Q2

(5.18)

TW„ 1 ,

-JL = [TW-f {V(\ + TW)= -f 4Q= -

-VTTW)], (5.19)

где TW представляет собой нормированную ширину переходной области соответствующего фильтра нижних частот. Для высокодобротных схем хорошее приближение к (5.18) и (5.19) дает соотношение

(5.20)

которое определяет среднее значение ширины этих двух переходных областей. Для фильтров Баттерворта и Чебышева значения TW находятся из (2.16) и (2.17) при сйс = 1, а для инверсных фильтров Чебышева- из (3.7). Для эллиптических фильтров значения TW приведены в таблицах приложения В.

В качестве примера найдем ширину переходных областей эллиптического полосно-нропускающего фильтра восьмого порядка с PRW=0,5 дБ, MSL=60 дБ, fo= =сйо/2л=1000 Гц и Q=5. Из приложения В находим TW=0,1243, а из (5.18) следует, что

1 = -\o,l243 - (Vl, 1243= + 100 -1000 10 ,,

- Kl-f 100)],

или TWb = 11,1172 Гц. Подобным же образом из (5.19) определяем, что TWi7= =13,7428 Гц. Задаваемое уравнением (5.20) приближение дает ширину обеих переходных областей 12,43 Гц. Результаты приведены в герцах, поскольку в основном используется частота fo, а не соо-

Если необходим полосно-нропускающий фильтр с шириной переходных областей, меньшей некоторого выбранного значения, то можно определить для соответствующего случая нижних частот максимально допустимое значение TW и нспользовать это значение для выбора подходящего фильтра нижних частот. Полосно-нропускающая функция находится тогда но исходным даииым на функцию нижних частот. Поскольку из (5.18) и (5.19) следует, что TWu>TWl, то можно выбрать заданное значение TVJu как максимально допустимую ширину переходных областей нолосио-

пропускающего фильтра. Тогда TWi, также будет меньше этого максимально допустимого значения. Из (5.19) соответствующая нормированная ширина TW нижних частот он1зеделяется следующим образом:

Q(TW)/co,-f Kl-f 4Q= 1 + 2Q (TWu)/to„ + VT+W

.(5.21)

В качестве примера предположим, что необходимо получить эллиптический полосно-пронускающий фильтр с fo=1000 Гц, PRW=1 дБ, MSL=50 дБ, Q=10 и шириной переходных областей не более 10 Гц. Выбирая TWcr = 10 Гц, получаем Q(TW[r)/cutf=10(10)/1000=0,l, а из (5.21)

TW= 2(0,1)

0,1 -f 1401

1 -f o,2 + Vm

= 0,1896.

Из приложения Г следует, что наименьший порядок, который необходимо выбрать, N=7 и для него TW=0,1013 (для N=G соответствует TW=0,19.89, которая слишком велика). Для N=7 из (5.18) и (5.19) находим реальную ширину переходных областей

TWi,=4,8; TW[r=5,3 Гц,

которые обе меньше допустимого значения, а именно 10 Гц.

5.4. ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ С МНОГОПЕТЛЕВОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ И БЕСКОНЕЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ

Схема с многонетлевой обратной связью (МОС) и бесконечным коэффициентом усиления, изображенная на рис. 5.7, представляет собой один из наиболее простых полосио-пронускающих фильтров второго порядка [13].

Она реализует функцию нолосио-про-пускающего фильтра (5.11) при инвертирующем коэффициенте усиления (для р>

Рис. 5.7. Схема нолосно-нропускающего фильтра с МОС и бесконечным коэффициентом усиления.

Рис. 5.8. Схема полосно-пропускающего фильтра на ИНУН.

>0 получаем значение -р), где 1

(«>« =

рсо,

(5.22)

ЯгСг

При заданных параметрах соо, Р. Р и Y значения сопротивлений определяются из следующих соотношений:

/?2 =

(5.23)

где Ci и Сг имеют произвольные значения. Таким образом, можно выбрать значения емкостей Ci (предпочтительно близкое к значению 10/fo мкФ) и Сг так, чтобы ?г>0, и определить значения сопротивлений. Значение емкости Сг находится из условия

Сг>С,(рр у)Д. (5.24)

В качестве примера предположим, что необходимо реализовать полосно-пропуска-ющий фильтр второго порядка с центральной частотой f(j=1000 Гц, Q=5 и коэффициентом усиления К=2. Передаточная функция, задаваемая уравнением (5.5), имеет вид:

0.4(OoS

К, ~ 52+0,2g>„s+<o„2 •

Сравнивая ее с (5.1 i), находим, что р = 0,4, р=0,2 и Y=l. Выбирая Ci = 10 o= =0,01 мкФ из уравнения (5.24), получаем

С2>0,01 [0,4(0,2)-1]/1 мкФ.

Следовательно, допустимо любое положительное значение емкости Сг. Тогда, выбирая Сг=0,01 мкФ, из (5.23) получаем J?i = 39,79 кОм; /?г=1,66 кОм; .з= = 159,15 кОм.

Полосно-пропускающий фильтр с МОС„ подобно его аналогам нижних и верхних частот, обладает минимальным числом элементов, инвертирующим коэффициентом усиления и способностью обеспечивать значение добротности QIO при небольши.х; коэффициентах усиления. Краткое изложение методики его расчета приведено в § 5.10.

5.5. ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ НА ИНУН

Схема на ИНУН [18], изображенная иа рис. 5.8, реализует функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка (5.11), где

f(o„ = ji. ?,C,;

(5.25>

!л=1Ч-/?5 ?4. (5.26.Ц

Значения сопротивлений для cxembf, приведенной на рис. 5.8, равны

R, = fx/pto„C,;

2(tx-l)

[p(2/tx-l)-p-f -f(P-B) + 8y(t-l)] Cг

\R, Rj

(5.27)

R-. = v-R..

где Ci и JI имеют произвольные значения и л=1+Яз ?4>1. (5.28>

Можно добиться значительного упрощения, если выбрать !.i=2 или, что эквивз-лентно, Ri=R5. В этом случае уравнение (5.27) имеет вид:

Ri = 2/p(o„C,; 1

R.=-

R = -

[ p + K(p-p)2 + 87lco,C," 1

:,( /?1 R2)

(5.29)

R=R,r.= 2R,.

Этот полосно-пропускающий фильтр на ИНУН обладает теми же преимуществами, что и рассмотренные ранее фильтры на ИНУН нижних и верхних частот. Он обеспечивает неинвертнрующий коэффициент усиления и может реализовывать при небольших коэффициентах усиления значения добротности QIO. Методика его расчета приведена в § 5.11.

5.6. БИКВАДРАТНЫЕ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ

На рис. 5.9 изображена биквадратная схема которая реализ-ет иередаточи--ю функцию полосно-нропускающего фильтра второго порядка вида (5.11). Эта схема реализует уравнение (5.11) при

рсо„= 1 ?,С,; I рсо„ = 1 ?2С.: [ Тсо„2=1 з/?С,2. ) Значения сопротивлений равны

i?2 = l/pMoC,= (p/p)/?,;

(5.30)

(5.31)

где Ci и Rt имеют произвольные значения. Коэффициент усиления является неинверти-рующим, однако можно получить и инвертирующий коэффициент усиления, если снимать выходной сигнал с узла а.

Биквадратная схема требует большего числа элементов, чем схемы с МОС и на ИНУН, однако из-за ее стабильности и прекрасных возможностях но настройке она очень популярна. На ией можно реализовывать значения добротности Q вплоть до 100. Краткое изложение методики расчета приведено в § 5.12.

5.7. ИНВЕРСНЫЕ ЧЕБЫШЕВА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИЕ ФИЛЬТРЫ

Как было установлено ранее, полосно-пропускающее звено второго порядка инверсного Чебышева или эллиптического фильтра, получаемое из звена первого порядка соответствующего фильтра нижних частот, имеет функцию, описываемую уравнением (5.11). Таким образом, его можно реализовать с помощью сформулированных в трех предыдущих параграфах методов.

Рис. 5.9. Схема биквадратного нолосио-пропускающего фильтра.

Звенья второго порядка, получаемые из lu-ответствующих звеньев нижних частот второго порядка, встречаются нарами и обладают передаточными функциями вида (5.12) и (5.13). Они представляют собой частные, случаи обобщенной функции (5.15). Эта функция идентична ириве.д,е.нно в %?).2> передаточной функции иижиих частот (3.16) при замене частоты сОс на соо. Следовательно, можно использовать приведенные в § 3.3-3.5 результаты и схемы для реализации нолосно-нропускающего звеиа с соответствующими параметрами р, а, Р и у. Это будет рассмотрено в § 5.13-5.15.

5.8. НАСТРОЙКА ПОЛОСНО-ПРОПУСКАЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Настройка нолосно-нропускающего звена второго порядка с передаточной функцией

pw„s

Kl s= -I- pco„s -j- Y"o

(5.32)

осуществляется наиболее просто, если имеется возможность наблюдать общий вид его амплитудно-частотной характеристики. Она изображена на рис. 5.10, где значение ее подъема равно

(5.33)

(5.34)

где fo=<Bo/23T.

Частоты fi и f2 представляют собой точки по уровню 3 дБ и определяются следующим образом:

на частоте (Гц)

Кт=р/Р

f, = fo

h = fo

P+VP+4Y

(5.35)

Передаточная функция (5.32) описывает полосно-нропускающий фильтр второго порядка, а из (5.5) находим, что р= =K/Q, P=l/Q и \=1. Она также представляет собой передаточную функцию

Wjw)]

Рис. 5.10. Амплитудно-частотная характеристика полосно-пропускающего фильтра второго порядка.