схемы можно привести следующие соображения. Во-первыл ц анализе быстропротекающих процессов преимущество неявной с\ мы. заключающееся в более свободном выборе величины времр иого шага, может не проявиться. Во-вторых, явные схемы удоб]/" при реализации иа ЭВМ с несколькими параллельными процесс рами, которые, по-видимому, получат широкое распространение ближайшие годы.

§ 3.3. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ МЕТОДОМ БАЛАНСА (ИНТЕГРОИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД)

Свойство коисервативиости разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейишм образом - производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными рлз-ностямн может привести к схемам, которые будут иметь большую погрешность, либо вообще окажутся непригодными для счегя.

Рассмотрим пример такой неудачной разностной схемы для одномерного стационарного уравнения с переменной теплопроводностью Х{х)

Х{х)

(3.31

которое в случае непрерывно дифференцируемой функции X (х) можно переписать в виде

d2 г dk dT M-v)74-(3.32)

Для построения разностной схемы заменим в (3.33) производные разностными отношениями. Аппроксимация второй производной была рассмотрена в § 3.1, соотношение (3.8). Первую производную в точке X = х-п можно аппроксимировать левой или правой разностями с погреншостью О (h):

Тп~Тп1 ОТ Тп1~Тп д X h д X ~ h

и центральной разностью с погрешностью О (fi):

Tn+i-Tn-i

лроксимация центральной разностью имеет более высокий по-ее мы и будем использовать ниже. Вводя сеточные функции 9>S X (.vn), задатц11е иа равномерной сетке х„ - (п - 1) h,

(3.33)

.) /[2 2h 2h

НетруДю убедиться, что если функции к (х) и Т (х) имеют не-йходиое число производных, то разностное уравнение (3.33) аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.32) со вторым поряд-

прежде чем перейти к анализу разностной схемы (3.33), остано-ймся иа важных требованиях, предъявляемых к любым разност-схемам, которые соответствуют дифференциальным уравне-fiHHM получаемым на основе записи законов сохранения энергии, массы, количества движения для прон.звольного объема сплошной среды. Очевидно, что для получения разностного решения, хорошо описывающего реальный процесс изменения температурного поля в количественном и качественном отношениях, целесообразно потребовать вьшолнения закона сохранения энергии и для разностного решения.

Для непрерывного точрюго решения закон сохранения выполняется для произвольной области тела. Для разностного решения требование выполнения закона сохранения имеет важную особенность, обусловленную дискретным разбиением тела. А именно, поскольку разностное решение ищется в отдельных точках тела, то необходимо разбить тело на такое же число элементарных объемов, каждый из которых будет включать одну точку, а затем потребовать выполнения закона сохранения как для произвольного элементарного объема так и для любой области, составленной из этих элементарных объемов (а следовательно, и для всего тела). Последнее требование будет выполиепо, если обеспечить условие согласования тепловых потоков для любых соседних объемов, заключающееся в равенстве значений протекающих через общую rpanniiy тепловых потоков.

Отметим, что обычно требуют точного выполнения сформулированных условий при конечном разбиении расчетной области, а не только при стремлении максимального размера элементарной обла-тн к нулю. Это позволяет получать правдоподобные решения да-* на грубых сетках.

Разностные схемы, при которых получаются численные реше-""я, Удовлетворяющие закону сохранения энергии, называются кон-Рвативными.

Теперь рассмотрим, как обстоит дело со схемой (3.33). Сначала Ь1берем элементарные объемы. В принципе нх можно назначать раз-•Ичиым образом, устанавливая границы объемов в произвольных *тах между расчетными узлами. Однако наиболее естественным и роко распространенным является выбор границ элементарных

объемов в серединах отрезков, образованных соседними узла,\1 (рнс. 3.5). Таким образам в данном случае элементарные обърх имеют вид: (О, Ш, ix.,-h/2, x, + hl2], [I h/2, I].

Теперь перейдем к проверке условий сохранения энергии элементарных объемов Иусловий согласования тепловых потоков ц

их границах. Для точного решения закон сохранения энергии дд элементарного объема 1/2 4. записывается в виде

дТ дх

Xn~h/2

X+h/2

= gv Л,

(3.34)

(3.35)

и условие согласования выполняется автоматически, поскольку поток, протекающий через общую границу двух объемов, равен для любого из них значению в нх общей граничной точке.

Для разностного решения закон сохранения записывается также в виде (3.34), но значения тепловых потоков должны быть теперь выражены через разностцое решение.

Для получения разностного аналога соотношения (3.35) перепишем уравнение (3.33) в Вцде

1 +1

Котором члены

(?v„+i - ?„-i)/4 и + (?.„,+1

(3.36)

являются оценками зна1,ений % ix -кП) и X (л:„ -f/i/2). ПерВ« слагаемое в (3.36) соответствует потоку, проходящему через сечение f" 71 "- второе ~ чеез сечение х„ + h/2. Видно, что для схемь (3.36) не выполняется Условие согласования тепловых потоков. Действительно, соотнощение (3.36) записано для элемента?Н

й-(,ема с центром в точке Для соседнего левого объема с центром в точке Хп-1 оно будет иметь вид

- (A.n-j+ I j I =q„h, (3.37)

Значение потока через границу xj + hl2 ~ Xn -h!2 из (3.36) совпадает с соответствующим значением из (3.37):

--Хп-д\ {Un -Чп-i) I -Xfi -1\ (liTt-Uti i)

-n-lT A I h Ф Xn

Очевидно, что условие согласования для тепловых потоков будет выполнено, если тепловой поток на границе х - hl2 записать так:

йп~\x„ j + A/2 = ик„-Л/2 X{Xj-hl2)

Пр&дставляя аналогичным образом поток на правой границе элементарного объема с центром в точке л:,,, получаем вместо (3.33) разностное уравнение

X[х,,-h/2) -X{x„i- Л/2) -= h. (3,38)

Разобранный пример показывает, что консервативность схемы не обеспечить без принятия специальных мер. Поэтому в настоящее время в большинстве случаев разностные уравнения получают не из аппроксимации операторов дифференциального уравнения, а из непосредственной аппроксимации самих соотношений теплового баланса, записанных для элементарных объемов. При этом для тепловых пото-оъ на границах используются выражения, обеспечивающие выполнение условий согласования. Этот способ построения консерватив-*Ь1Х разностных схем называется интегро-инпгерполяционным ме-ом или методом баланса.

Метод теплового баланса. Приведем основные этапы примене-я этого метода:

область, в которой ищется решение, разбивается на элементар-"•е объемы (элементарные ячейки), построенные вокруг каждого уз-

сетки;

для всех внутренних и граничных ячеек записывают уравнения гЛового баланса, включающие значения тепловых потоков на гра-"Uax ячеек; при записи уравнений баланса для ячеек, прилегающих к границам, нспользуют граничные условия;

аппроксимируют члены, входящие в уравнения теплового ба-Jca, выражая их через значения сеточной функции; прн этом ап-Рокснмациоиные выражения для тепловых потоков должны удов-Ворять условию согласования.

.ShT "" ""-"У iOB иространс,

юиения, то в пезультятр чтму по,"./-,-о„г. ,. Нц

разбиения, то в результате этих действий получают нoлпy{Q""J му алгебраических уравнений - разностную схему, при р которой можно определить разностное решение.

Проиллюстрируем оннсаиную методику поетроеним ной схемы на примере стационарного уравнения теплоировц сти для стержня с боковым теплообменом:

aU:S\ и - периметр; S - площадь поперечного сеч - коэффициент теплоотдачи на боковой поверхности.

ння; а

Рнс, 3.6

Пусть выбрана неравномерная пространственная сетка {Xn]Jly шаг Я„ ---- х„1 - х„. Элементарные ячейки для всех внутренних y лов .V,, построим, отступая от каждого узла на половину шага влевп и вправо (рис. 3.6, а). Элементарная ячейка для узла представл;;-ет собой отрезок \х,ч, х,,!..,!, x„±i"- дг„ ±/t/2.

Уравнение теплового баланса для внутренней элементариоп ячейки U„ iy, Xnj} имеет вид

Яп4 l/2f с/л- 1/2

1 + 1/9 "-1/2

(3.40

1 , , rfr

- тепловые потоки на границам

Уравнение (3.40) представляет собой закон сохранения эиергш для элементарной ячейки и имеет следующий смысл:

Все составляющие уравнения баланса отнесены к единине щади поперечного сечения и выражены в Вт/м".

пло-

лении теплового потока с боковой поверхности будем ПР* температура не изменяется на отрезке Un, ,/,,

(3.4!

,птпнм способы приближенного вычисления потоков Один И* них. удовлетворяющий условию согласования, был :;;£смотрен. см. (3.38):

- Un

1 /2

Однако более тюдробный анализ показь[ваес, что этн соотношения целесообразно использовать только в случае непрерывного и не о,1ишком ре.жого и:шенения теилопроводностн на отрезке [n-i.

Приближение (3 .42) базируется на предположении о малом изменении производной dTli-ix на соответствующих интервалах. Оно неправомерно в случае резкого изменения теплопроводности Х{х), например, при наличии точки разрыва у X (х) на рассматриваемом ингервале. Поэтому це1есообразно строить приближение для потока исходя из предположения о малом изменении потока q{x) на со-ответствтощих интервалах. Очевидно, что при малых h поток мало изменяется даже в случае разрыва Х{х), Из закона Фурье имеем

d ? d Г д{х)

q(x)-X-- или -- - . , , dx d X I. (л-)

Проинтегрируем равенство (3.43) по отрезку \х„ ., х]:

(3.43)

d .V

q(x)

,1-1

к (X)

6 X.

Предполагая что q (х) мало меняется на отрезке Ix-i. xJ, положим q{x) и вынесем q-uz интеграл. Тогда полу-

4f(M

к(х)

" -1

Таким образом, тепловые потоки через границы элементарной lenKH выражаются через разности температур в узлах так:

4.W 1 Тп~Тп+1 Тп1-Тп

(3.44) 89