Высшая арифметика, или теория чисел, изучает свойства натуральных чисел 1, 2, 3, ... Эти числа интересуют человека с давних времен. Античные летописи говорят о том, что уже тогда арифметику знали глубже и шире, чем это было необходимо для нужд повседневной жизни. Но систематической, самостоятельной наукой высшая арифметика становится лишь в новое время, начиная с открытий Ферма (Fermat, 1601-1665).

Многие простые и обш;ие теоремы высшей арифметики естественно возникают из вычислений, однако при доказательстве этих теорем часто встречаются очень большие трудности. «Эта особенность, - по словам Гаусса, - вместе с неистогцимым богатством высшей арифметики, которым она столь сильно превосходит другие области математики, придает высшей арифметике неотразимое очарование, сделавшее ее любимой наукой величайших математиков».

Теория чисел считается обычно «чистейшей» ветвью чистой математики. Она имеет очень немного прямых приложений к другим естественным наукам, но обладает одной обш;ей с ними чертой: теория чисел развивается из эксперимента роль которого играет проверка обгцих теорем на численных примерах. Такой эксперимент необходим в любой области математики, но в теории чисел он играет большую роль, чем где бы то ни было, ибо в других областях математики результаты, полученные таким способом, часто бывают неверными.

Автор этой книги хорошо понимает, что нематематик не сможет прочесть ее без труда. Трудность частично лежит в самом предмете. Этой трудности не избежать, пытаясь использовать несовершенные аналогии или проводя доказательства, выража-юп;ие основную мысль, но неточные в деталях. Такая попытка может лишь уменьшить интерес к этой наиболее точной из наук.

В ЭТОЙ книге теоремы и их доказательства часто иллюстрируются численными примерами. Примеры обычно очень просты и могут не удовлетворить читателя, который любит вычисления. Задача этих примеров - пояснить общую теорию. Вопрос о наиболее эффективном проведении арифметических вычислений выходит за рамки данной книги.

Автор признателен многим друзьям, особенно д-ру Эрдешу, проф. Морделлу и д-ру Роджерсу, за предложения и исправления. Он обязан также капитану Дрэму за разрешение включить описание его алгоритма.

ГЛАВА I

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА

1. Законы арифметики. Высшая арифметика исследует обилие предложения о натуральных числах 1, 2, 3, ... обычной арифметики. Примерами таких предложений могут служить фундаментальная теорема (I, 4)* о том, что каждое натуральное число разлагается на простые множители и это разложение единственно и теорема Лагранжа (V, 4) о том, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более четырех точных квадратов, С арифметическими вычислениями мы встретимся только в иллюстративных примерах; мы не касаемся также числовых курьезов, не связанных с обгцей теорией.

В раннем детстве, играя в четки или в шарики, мы экспериментально изучаем арифметику. Сначала, объединяя два ряда предметов в один, мы учимся складывать; затем, многократно повторяя сложение, учимся умножать. Постепенно мы узнаем, как следует обраш;аться с числами, и хорошо знакомимся с законами арифметики - законами, которые, вероятно, наиболее близки нам из всех достояний человеческого знания.

Высшая арифметика - дедуктивная наука, основанная на законах арифметики. Мы все знаем эти законы, хотя, может быть, не видели их формулировки в обгцих терминах. Законы арифметики выражаются следуюш;им образом.

Сложение. Любые два натуральных числа а и b имеют сумму обозначаемую а+й, которая сама является натуральным числом. Операция сложения удовлетворяет двум законам:

а + b = b + а {коммутативный закон сложения)

а+ {Ь + с) = (а + Ь) + с {ассоциативный закон сложения)

*) Ссылки такого рода относятся к главам и пунктам глав этой книги.