6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, ...

Всякая задача, которая подобно этой имеет дело с аддитивными свойствами простых, по необходимости трудна, так как определение простого и естественные свойства простых выражаются в терминах умножения. Важный вклад в этот предмет сделали Харди и Литлвуд в 1923 году, но до 1930 года не было ни одного строго доказанного утверждения, которое можно было бы рассматривать хотя бы как далекое приближение к решению проблемы Гольдбаха. В 1930 году русский математик Шни-рельман доказал суш;ествование такого числа 7V, что любое число, начиная с некоторого места, представимо в виде суммы не более чем N простых. Много ближе подошел к решению этого вопроса в 1937 году Виноградов. Он доказал с помош;ью очень тонких аналитических методов, что каждое достаточно большое нечетное число представимо в виде суммы трех простых. Его доказательство явилось исходным пунктом большой новой работы в аддитивной теории простых, по ходу которой были решены многие задачи, недоступные никаким методам, пред-шествуюш;им методу Виноградова. Новейший результат Репьи, связанный с проблемой Гольдбаха, состоит в том, что всякое достаточно большое четное число представило в виде суммы двух чисел, одно из которых является простым, а другое имеет ограниченное число простых множителей.

Замечания к главе I. п. 1. Главная трудность при перечислении законов арифметики, подобном приведенному здесь, состоит в решении того, какие из понятий являются первичными. Различные подходы к этому вопросу зависят от вкусов авторов.

Нашей целью не является дальнейший анализ понятий и законов арифметики. Мы придерживаемся точки зрения здравого смысла (или наивной точки зрения), что все «знают» натуральные числа и удовлетворены истинностью законов арифметики и принципа индукции. Читатель, интересуюгцийся основаниями математики, может обратиться к книгам: В. Russell, Introduction to Mathematical Philosophy (Allen and Unwin, London); M. Black, The Nature of Mathematics (Harcourt and Brace, New York).

Рассел определяет натуральные числа, выделяя их из чисел более обш,его рода. Эти более обш,ие числа - (конечные или бесконечные) кардинальные числа, определяемые с помош,ью обш,их понятий

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I 39

«класса» и «взаимно однозначного отображения» . Выделение производится определением натуральных чисел как чисел, обладающих всеми индуктивными свойствами (Russell, р. 27). Но разумно ли базировать теорию натуральных чисел на таком неясном и неудовлетворительном понятии, как класс, - вопрос спорный. Dolus latet in universalibus

п. 2. Возражением против использования принципа индукции для определения натуральных чисел является необходимость ссылки на «любое предложение о натуральном числе п» . Кажется ясным, что «предложения», упоминаемые здесь, должны быть утверждениями, имеющими смысл, когда в них говорится о натуральных числах. Неясно, однако, как эта осмысленность может быть испытана или оценена, если неизвестно, что такое натуральное число.

п. 4. Я не встречал этого доказательства единственности разложения, но маловероятно, чтобы оно было новым. О других прямых доказательствах см. (, стр. 2) и (, стр. 21).

п. 6. Критически настроенный читатель мог бы заметить, что в двух местах этого пункта я использовал принципы, которые не были точно сформулированы в пп. 1 и 2. В обоих случаях можно было дать доказательство по индукции, но, сделав так, я отвлек бы внимание читателя от главных вопросов. Вопрос о длине алгоритма Евклида обсуждается в (, глава 3) и в (, том I, гл. 4).

п. 9. О методах разложения на множители см. (, том I, гл. 14); об алгоритме Дрэма см. Mathematics Magazine 25 (1952), 191-194.

п. 10. Превосходное изложение вопроса о распределении простых дано в книжке Ингама «Распределение простых чисел» (М.-Л., 1936) Доказательство Дирихле его теоремы (с усовершенствованием, принадлежащим Мертенсу) дано в качестве приложения к (). Для ссылок на элементарные доказательства теоремы Дирихле и асимптотического закона распределения простых см. Math. Reviews, 10 (1949), 595-596. Элементарное доказательство асимптотического закона дано в главе 22 () и в главе 3 (). Для обозрения работ, связанных с проблемой Гольдбаха, см. James, Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949). Доказательство результата Виноградова можно найти у Эстермана (Estermann, Introduction to modern prime number theory, Cambridge, 1952). О результате Репьи см. Math. Reviews 9 (1948), 413.

Общие понятия полны коварства. {Прим. перев.)

Автор ссылается на английское издание этой книги. The Distribution of Prime Numbers (Cambridge, 1932). {Прим. перев.)

ГЛАВА II

СРАВНЕНИЯ

1. Понятие сравнения. В некоторых случаях два числа, отличающиеся на кратное какого-нибудь фиксированного числа, эквивалентны, так что вычисления с этими числами приводят к одному и тому же результату. Например, значение (-1) зависит лигпь от четности или нечетности п, так что два значения п, отличающиеся на кратное 2, приводят к одинаковому результату. Если мы интересуемся только последней цифрой числа, то числа, отличающиеся на кратное 10, для нас, по существу, совпадают.

Понятие сравнения, введенное Гауссом, выражает в удобной форме то, что два целых числа а и b отличаются на кратное фиксированного натурального числа т. Мы говорим в этом случае, что а сравнимо с b по модулю т или, символически,

а = b (mod m).

Это выражение означает просто, что а - Ь делится на т. Такое обозначение благодаря аналогии между сравнениями и равенствами упрощает вычисления, в которых числа, отличающиеся на кратное т, фактически не различаются. Сравнение есть «равенство с точностью до некоторого кратного т». Несколько примеров истинных сравнений:

63 = О (mod 3), 7 = -1 (mod 8), 5 = -1 (mod 13).

Сравнение по модулю 1 выполняется для любых двух чисел, так как каждое число кратно 1. Два числа сравнимы по модулю 2, если они имеют одинаковую четность, т. е. оба четны или оба нечетны.

Два сравнения по одинаковому модулю можно складывать, вычитать или перемножать так же, как и равенства. Если

а = а (mod т) и Ь = /? (mod m).