деления одного полинома на другой с остатком (степень остатка должна быть меньше степени делителя). Недостаток места препятствует более подробному изложению этой теории.

8. Сравнения от нескольких переменных. Очень простая и обгцая теорема, принадлежагцая Шевалле, устанавливает разрешимость широкого класса сравнений от нескольких переменных. Пусть f{xi, ..., Хп) - произвольный полином от п переменных, не обязательно однородный, степень которого меньше п, а свободный член равен 0. Под степенью многочлена понимается наивысшая из степеней отдельных членов, а степень одночлена типа хХ2х1 считается равной 1 + 3 + 4 = 8. Теорема Шевалле утверждает, что сугцествует такое решение сравнения f{xi,...,Xn) = О {modp), (15)

в котором не все неизвестные сравнимы с нулем.

Прежде чем приводить доказательство, сделаем одно предварительное замечание. При каких условиях сравнение, скажем

(fi{xi,X2,...,Xn) = О (mod р), выполняется при всех целых Xi, ..Хп? По теореме Ферма (п. 3) хР = X (mod р) для всех х. Поэтому, не изменяя значения произвольного сравнения, можно в каждом его члене заменить все показатели на числа ряда 1, ..р - 1 (вычитая из этих показателей соответствуюгцее кратное р-1). Если сделать это, то получившееся сравнение будет выполняться при всех Xi, Х2, .. Хп, только если оно сводится к тождеству, т. е. если все его коэффициенты будут сравнимы с нулем. Действительно, в силу теоремы Лагранжа такое сравнение, имея по Xi степень не вытер-1, может иметь не боже р-1 решений для Xi если только не все его коэффициенты (когда оно рассматривается как полином от Xl) сравнимы с нулем. Эти коэффициенты являются полиномами от Х2, ..не выше {р - 1)-й степени по каждой из неизвестных, и мы можем применить к этим полиномам то же рассуждение. Обгцее утверждение получается повторением приведенного аргумента.

Теорема Шевалле доказывается сведением сравнения (15), которое предполагается неразрешимым при отличных от нуля значениях неизвестных, к другому сравнению, разрешимому для всех значений неизвестных. Рассмотрим сравнение

9] СРАВНЕНИЯ, ПОКРЫВАЮЩИЕ ВСЕ ЧИСЛА 57

1 - [f{x„ хп)Г- = (1 - х{-)... (1 - хГ) (mod р). (16)

Если xi ,, , хп все сравнимы с нулем, то обе части этого сравнения сравнимы с 1. Если какое-нибудь из oJi, ..., я; не сравнимо с нулем, то и левая, и правая части сравнимы с нулем по теореме Ферма. Значит, по предположению, которое нужно опровергнуть, (16) имеет место для всех целых xi ..., хп-Как мы видели, это соотношение должно свестись к тождеству, если, выписав все его члены, каждый показатель каждой из переменных заменить на одно из значений 1, 2, - 1, вычитая подходягцее кратное р-1. Справа такая редукция невозможна, ибо показатель каждой из переменных в любом члене не превосходит р-1. Слева, быть может, редукция и возможна. Но полная степень каждого члена в левой части по предположению меньше, чем {р - 1)п; редукция показателей может ее лишь уменьшить. Отсюда ясно, что это соотношение нельзя свести к тождеству; действительно, ни одно слагаемое в левой части сравнения не может иметь такую высокую степень, как слагаемое х{~Х2~,,, х~ в правой части. Это и доказывает теорему.

В качестве простого примера рассмотрим сравнение х + у + z = О (mod р).

Полином в левой части этого сравнения зависит от трех переменных х у Z имеет степень 2 и не имеет свободного члена, так что выполняются все условия теоремы Шевалле. Следовательно, это сравнение разрешимо с не сравнимыми с нулем х у Z, Этот частный результат полезен в связи с представлением числа суммой четырех квадратов (V, 4); но его можно легко доказать и без применения теоремы Шевалле.

9. Сравнения, покрывающие все числа. Любопытна задача построения такого ряда сравнений по различным модулям, что каждое число удовлетворяет по крайней мере одному из этих сравнений. Такую совокупность сравнений можно назвать покрываюгцим множеством. Модуль 1 должен быть, конечно, исключен. Сравнения

X = О (mod 2), О (mod 3), 1 (mod 4), 1 (mod 6), 11 (mod 12)

образуют покрываюгцее множество. В самом деле, первые два из них покрывают все числа, за исключением сравнимых с 1,

Эта книга добавлена мною. {Прим. перев.)

5, 7, и (mod 12). Из этих чисел 1 и 5 покрываются сравнением X = 1 (mod 4), 7 покрываются сравнением х = 1 (mod 6), а И покрываются последним сравнением.

П. Эрдёш (Р. Erdos) поставил следующую задачу: дано произвольное число N; существует ли множество покрывающих сравнений, использующих лишь модули, большие N7 Возможно, это верно, но доказательство найти нелегко. Сам Эрдёш построил множество, не использующее модуля 2; модулями у него являются различные множители 120. Д. Свифт (D. Swift) построил множество, для которого наименьшим модулем является 4; в качестве модулей здесь фигурируют различные сомножители 2880.

Замечания к главе II. п. 3. Обычная фраза - «х принадлежит показателю / по модулю ш» - в этом контексте излишне громоздка.

п. 4. Число [а, /?], введенное для представления совместного решения сравнений (7), выражается по следующей формуле. Определим а и Ь так, что аа = 1 (mod b) и bb = 1 (mod а), тогда [а,/?] = аа(3-\-+ bba (mod ab),

п. 5. Теорему Вильсона можно обобщить на случай составного модуля; см. (, § 8.8) или (, р. 266).

Обычное доказательство того, что Sk = О (modp), использует примитивные корни - см., например, (, § 7.10), но можно также дать и более непосредственные доказательства этого утверждения. Обширную литературу о симметрических функциях от чисел 1, 2, ..., р - 1 можно найти в книге Диксона (, том I, гл. 3).

п. 7. Полное определение всех типов полей, состоящих из конечного числа элементов, было дано американским математиком Е. X. Мо-оре (Е. Н. Мооге) в 1893 году. Число элементов конечного поля должно быть непременно степенью простого р; само же конечное поле является полем вычетов по mod р (при п = 1) или его алгебраическим расширением. Об этой теории см. Dickson, Linear Groups, ch. 1, или MacDuffee, Introduction to Abstract Algebra, pp. 174-180, или Birkhoff and MacLane, Survey of Modern Algebra, pp. 428-431, или В. Л. Ван-дер-Варден, Современная алгебра М.-Д., 1947, стр. 153-157. Некоторые таблицы неприводимых полиномов для первых четырех простых модулей можно найти в статье R. Church, Annals of Math., 36 (1935), 198-209.

п. 8. О теореме Шевалле см. работу в журнале Abhandlungen Math. Seminar, Hamburg 11 (1936), 73-75.