5 или 7; и два решения, если г равно И. Следовательно, 3 есть квадратичный вычет для простых вида 12А:±1 и квадратичный невычет для простых вида 12А: ± 5.

5. Закон взаимности. Мы только что доказали, что квадратичный характер от 2 по mod р зависит только от остатка г, если р представлено в виде 8А: + г, и что квадратичный характер от 3 по mod р зависит только от остатка г, если р представлено в виде 12А: + г. Более того, в первом случае значение характера одинаково для г и для 8 - г, а в последнем его значение одинаково для г и для 12 - г.

На основании глубокого численного исследования Эйлер пришел к выводу, что аналогичное утверждение имеет место и в обп1;ем случае, но доказать этого он не сумел. Пусть а - какое-нибудь натуральное число; представим р в виде 4А:а + г, где О < г < 4а. Эйлер предположил тогда, что квадратичный характер по mod р имеет одно и то же значение для всех простых р, для которых г имеет одно и то же значение; более того, характер один и тот же для г и Аа - г. Этот результат эквивалентен квадратичному закону взаимности, который будет сформулирован в конце этого пункта.

Лежандр дал неполное доказательство закона взаимности; первым полным доказательством (очень сложным) было доказательство Гаусса, который открыл этот закон в возрасте девятнадцати лет.

Гипотезу Эйлера можно доказать с помоп1;ью леммы Гаусса, следуя по тому же пути, что и в случаях а = 2, 3. Мы должны посмотреть, сколько чисел ряда а, 2а, ..., Ра, где Р = (р - 1), лежит между р и р, между р и 2р и так далее. Так как Ра, наибольшее кратное а, меньше ра, то последний подлежагций рассмотрению интервал - это интервал от (Ь - )р до Ьр, где b равно а, если а четно, и (а-1), если а нечетно. Таким образом, нужно подсчитать, сколько чисел, кратных а, лежит в интервалах {PjP)j (р,2р), ((Ь-)р,Ьр). Ни одно из встречаю-гцихся здесь чисел не кратно а, так что вопрос о том, нужно ли учитывать концы интервалов, не возникает.

Разделив все числа, о которых идет речь, на а, получаем, что искомое число равно полному числу целых точек во всех

интервалах

2а а

Зр 2р\ 2а а )

{2Ь-1)р Ьр\ 2а а J

Положим теперь р = iak + г. Так как все знаменатели равны либо а, либо 2а, то без всякого вычисления видно, что замена р на Аак + г равносильна замене р на. г с точностью до некоторых четных чисел, добавляющихся к конечным точкам интервалов. Как и раньше, на эти четные числа мы можем не обращать внимания. Следовательно, если и - полное число целых точек в интервалах

2а а

(Зт 2г\ 2а а /

({2Ь-\)г Ьг\ 2а а /

(10)

то а является квадратичным вычетом или невычетом по mod р в зависимости от того, четно или нечетно v. Число v зависит только от г и одинаково для всех р, дающих при делении на 4а остаток г.

Это доказывает основную часть гипотезы Эйлера. Посмотрим теперь, что произойдет при замене г на 4а - г. Эта замена преобразует ряд интервалов (10) в ряд

2а а)

Зг 2г\ 6--,3-

2« а У

Обозначим через v число целых точек в этих интервалах; мы должны доказать, что v и v имеют одинаковую четность. Про-

2 - -, 4--) и

2а а/ ОДь точки зрения четности числа целых, содержащихся в них. Действительно, если вычесть концы первого интервала из 4, то этот интервал заменится на интервал -, 2 + - j. Вместе со вторым интервалом -, - j они образуют интервал длины 2, а такой интервал содержит точно два целых числа. Аналогичные рассмотрения применимы и к другим интервалам в рядах (10) и (И); следовательно, число v + пи четно, что и устанавливает нужный результат.

Квадратичный закон взаимности был впервые ясно сформулирован Лежандром в 1785 году. Он относится к двум различным простым ри ди выражает квадратичный характер р по mod q в терминах квадратичного характера q по mod р. Этот закон состоит в том, что указанные характеры совпадают в случае, если хоть одно из чисел р и q не представило в виде 4:к + 3, и противоположны, если и р, и q имеют вид ik + 3. Это можно выразить символически формулой

qj\pj

=(-1)

(12)

Показатель при -1 в правой части четен, если хоть одно из чисел р и q имеет вид 4А: + 1, и нечетен, когда оба числа имеют вид Ак + 3. Мы выведем закон взаимности из только что установленных результатов о значении квадратичного характера фиксированного числа а по различным простым модулям.

Предположим сначала, что p = q (mod 4). Не нарушая обш;-ности, можно считать, что р > q; положим р - q = ia. Тогда мы имеем

О - () = (т) -

Аналогично

р-4а\ (-4ci\ (-\(

а \Р

и 1 - ) одинаковы, ибо р vi. q имеют один и тот же ос-

1, если р и q вида 4А: + 1, и -1, если они имеют вид Ак + 3.

Предположим теперь, что pq (mod 4); тогда p = -q (mod 4). Положим р + g = 4а. Тогда, так же как и раньше, мы получим

Аналогично

Аа - q