НОМ возрастании п. Равенство (14) дает А-п Qiji-\-iAji + Aji-i Aji

Bn an+iBn + Bn-i Bn

An-iBn - AnBn-i ±1

Bn{on+iBn + Bn-i) Bn{an+iBn + Bn-i) (ввиду (10)). Так как a+i > п+ь имеем

< я--

Числа Бо, Бь 2, образуют строго возрастающую последовательность натуральных чисел; значит, Бп неограниченно

возрастает вместе с п, и (16) доказывает, что имеет сво-

им пределом при неограниченном возрастании п число а. Это свойство оправдывает слова «подходящая дробь»: предел последовательности равен (при неограниченном возрастании п) Вп

исходному числу а,

В связи с представлением иррационального числа бесконечной непрерывной дробью возникает еще один вопрос. В какой степени неполные частные до, 9ь 92, • • • определялись числом al Предположим, что мы выбрали произвольную бесконечную последовательность целых чисел до, 9ь 92, • • в которой все числа, кроме, быть может, первого, являются натуральными. Можно ли приписать какое-нибудь значение непрерывной дроби

,11 9

Если можно, то будет ли получившееся число иррациональным и связана ли эта непрерывная дробь с дробью, получающейся применением нашего первоначального процесса разложения к упомянутому числу? До тех пор, пока мы не выяснили этих вопросов, наши знания о непрерывных дробях неполны. В действительности ответы на эти вопросы очень просты. Если образовать непрерывную дробь из любой бесконечной последовательности натуральных чисел gi, д2, ... и произвольного целого числа до, то соответствующая последовательность подходящих дробей будет иметь предел. Вероятно, простейшее доказатель-

7] ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ 93

ство состоит в рассмотрении последовательности четных подходящих дробей -, -, ... Это - возрастающая ограниченно В2

пая сверху последовательность (все ее члены меныпе, например, Поэтому в силу одного из основных предложений о

пределах эта последовательность имеет предел. Аналогично последовательность, образованная нечетными подходящими дробями, имеет предел. Эти пределы равны, так как предел разности двух последовательных подходящих равен 0. Таким образом, мы можем приписать некоторое значение любой бесконечной непрерывной дроби. Обозначив это значение через а, можно убедиться, что непрерывная дробь а, полученная методом, описанным в начале этого пункта, совпадает с непрерывной дробью, которой мы приписали значение а. Действительно, значение бесконечной непрерывной дроби

1 1

qi+ 92+ * * *

лежит между О и 1; поэтому qq должно совпадать с целой частью а. Если положить а = qo-\--, то gi будет равно целой части ai и так далее. Другими словами, непрерывная дробь единственна, В частности, число, определяемое бесконечной непрерывной дробью, должно быть иррациональным, так как непрерывная дробь, порождаемая рациональным числом, конечна.

Мы видим теперь, что бесконечные непрерывные дроби могут служить не только для представления данных иррациональных чисел, но и для конструирования произвольных иррациональных чисел. Один из способов описания возникающей ситуации - сказать, что процесс образования непрерывных дробей устанавливает взаимно однозначное соответствие между (I) всеми иррациональными числами, большими 1, и (П) всеми бесконечными последовательностями 90, 9ь 92, • • • натуральных чисел.

7. Диофантовы приближения. Процесс образования непрерывных дробей порождает бесконечную последовательность рациональных приближений к данному иррациональному чис-

лу а; эту последовательность образуют подходящие дроби. Некоторую информацию о близости этих приближений к а дает

неравенство (16). Из него, в частности, следует, что если - - одна из подходящих дробей а, то

(17)

Мы получаем здесь простейший резулыат из теории диофан-товых приближений - области математики, занимающейся вопросом о приближении иррациональных чисел рациональными.

Более детальное рассмотрение показывает, что для бесконечного числа рациональных приближений выполняются несколько лучшие неравенства. Прежде всего можно доказать, что из двух последовательных подходящих дробей по крайней мере одна удовлетворяет неравенству

<

так что это неравенство выполняется для бесконечного числа рациональных приближений. Еще немного более сильное неравенство, именно

<

(18)

выполняется для одной из каждых трех последовательных подходящих дробей. Таким образом, любое иррациональное число а имеет бесконечно много рациональных приближений, удовлетворяющих неравенству (18), - результат, впервые полученный в 1891 году Гурвицем (Hurwitz). Но дальше этого уже пойти нельзя. Существуют иррациональные числа, для которых всякое более точное неравенство, скажем

<

(19)

где к > \/5, имеет лишь конечное число решений в целых числах X и у. Простейший пример такого числа - число, задаваемое непрерывной дробью вида

1 1 1

0 = 1 +

1+ 1+ 1+