Решая это квадратное уравнение, найдем 9 = \{1 + \/5) (отрицательный корень надо отбросить).

Доказательства только что упомянутых результатов не очень трудны, но за этими доказательствами мы все же вынуждены отослать читателя к литературе, указанной в Замечаниях.

8. Квадратичные иррациональности. Простейшими и наиболее известными иррациональными числами являются квадратичные иррациональности, т. е. числа, которые получаются в результате решений квадратных уравнений с целыми коэффициентами. В частности, квадратный корень из любого натурального числа TV, если TV не есть точный квадрат, - квадратичная иррациональность, так как этот корень служит решением уравнения х -TV = 0. Непрерывные дроби для квадратичных иррациональностей обладают замечательными свойствами. Мы теперь займемся исследованием этих свойств.

Начнем с нескольких численных примеров. В качестве первого очень простого примера рассмотрим л/2. Так как целая часть л/2 равна 1, то первый элемент непрерывной дроби также равен 1, и на первом шагу разложения мы получаем

Здесь

Целая часть ai равна 2, поэтому следующий шаг дает

«1 = 2 + - .

Здесь

«2 = - = -г- = V2 + 1.

«1 - 2 V2 - 1

Это число обладает тем свойством, что любое неравенство типа (19) с 9 вместо а имеет только конечное число решений. Значение 9 легко найти из уравнения

72 = 1 +

1 1 1

2+ 2+ 2+ Еш;е несколько примеров:

1 1 1

л/5 = 2 + --...,

4+ 4+

V6 = 2+ 1111

2+ 4+ 2+ 4+

В качестве немного более сложного примера рассмотрим чис-

Так как vT5 лежит между 3 и 4, целая часть а равна 1. Первый шаг дает

0; = 1 + -.

Здесь

1 17 7+\/Т5 ~ " 7-VTE ~ 2 •

Целая часть ai равна 5, поэтому

" = 5 + i;-

1 2 УТб + З ~ «1 - 5 ~ - 3 ~ 3 Целая часть а2 равна 2, так что

1 3 у + З "~о;2-2~-3~ 2

Так как 02 совпадает с ci, то дальнейшие вычисления излишни: все последуюш;ие шаги будут совпадать с последним описанным шагом. Следуюгцие элементы непрерывной дроби будут равны 2, и мы получим

Целая часть «з равна 3, поэтому

«3 = 3+

1 2 ч/Т5 + 3 ~aз-3~Д5-3~ 3 Так как «4 = «2, последние два шага будут повторяться и дальше, так что непрерывная дробь имеет вид

24 - ч/Т5 1 1 1 1 1

17 5+ 2+ 3+ 2+ 3+

Мы можем записать это короче:

1,5,2,3,

где черта выделяет период, повторяюгцийся бесконечное число раз. В этой краткой записи предыдущие примеры принимают вид

У2 = 1,2; УЗ = 1,Т;2; 5 = 2,4; \/б = 2,2;4.

В каждом из этих случаев существует полное частное а, равное некоторому предшествующему полному частному am-Начиная с такого полного частного, непрерывная дробь становится периодической. Элементы от Qm до Qn-i все время повторяются. Общую теорему о том, что любая квадратичная иррациональность разлагается в периодическую {начиная с некоторого места) дробь первым доказал Лагранж в 1770 году, но сам факт был известен и более ранним математикам. Мы докажем эту теорему в п. 10; предварительно, в п. 9, мы рассмотрим чисто периодические непрерывные дроби.

Таблица непрерывных дробей для \/]V при TV = 2, 3, ..., 50 (за исключением точных квадратов) дана на стр. 110. Для простоты над периодом, состоящим из всех элементов, кроме первого, черта опускается. Можно заметить, что эти непрерывные дроби имеют некоторые общие черты, причина этого выяснится в следующем пункте.

Метод, которым мы пользовались в предыдущих примерах, для удобства вычислений можно упростить, рассматривая только встречающиеся целые числа и оформляя работу более компактно.