9. Чисто периодические непрерывные дроби. В рассмотренных примерах непрерывные дроби не были чисто периодическими: период дроби начинался не с первого элемента. Однако легко привести примеры и чисто периодических непрерывных дробей; скажем, прибавив 1 к непрерывной дроби для 2, получаем чисто периодическую непрерывную дробь

аналогично

1 1 1

Уб + 2 = 4 +

2+ 4+ 2+

Числа, представляемые чисто периодическими непрерывными дробями, являются квадратичными иррациональностями частного вида; выясним, чем характеризуются эти числа.

Начнем с конкретного примера. Рассмотрим какую-нибудь чисто периодическую непрерывную дробь, скажем

11111

а = 4н------...

1+ 3+ 4+ 1+ 3+

Определение а можно записать в виде

Это соотношение приводит к квадратному уравнению для а. Чтобы найти это уравнение, заметим, что оно является частным случаем соотношения (13) с a+i = а. Следовательно, мы можем воспользоваться формулой (14), из которой вытекает, что

й 19 5 1

ибо и J - подходящие дроби, предшествующие элементу -

в (20). Таким образом, квадратное уравнение для а имеет вид

- 18о; - 5 = 0. (22)

Наряду с а удобно рассматривать также число период которого равен периоду а, записанному в обратном порядке:

11111

1+ 4+ 3+ 1+ 4+

Соотношение, аналогичное (2), имеет вид

По обш;ей формуле (14) получим

(здесь подходяш;ие дроби равны и у). Следовательно, /3 удовлетворяет квадратному уравнению

5/?2 - 18/? - 4 = 0. (24)

Ясно, что это уравнение тесно связано с уравнением (22), которому удовлетворяет а, В самом деле, уравнение (22) можно

преобразовать в уравнение (24), положив а = Следователь-

но, число - - является одним из корней квадратного уравнения

(22). Оно не может равняться а, так как а и Р положительны, а

-отрицательно. Значит, второй корень уравнения (22).

Этот второй корень называют алгебраически сопряженным с а, или просто сопряженным с а. Обозначая число, сопряженное с

/ / 1

а, через а , получим а ~

В действительности приведенное рассуждение является вполне обш;им. В случае чисто периодической непрерывной дроби, скажем

1 1 1

= 90 + -- ... -- - ,

qi+ qn+ а

уравнение, соответствуюгцее (21), имеет вид

Аа + Ап-1 - -1=.-- •

Если Р - число, полученное обрагцением периода а, то соответствуюгцее уравнение для /? имеет вид

АпР + Вп

An-lP + Вп-1

Это следует из того, что значение [о, 9ь • • •, Яп] не изменяется,

если элементы до, qi, ..берутся в обратном порядке (п. 3). Квадратные уравнения для а и для /3 связаны между собой так

же, как и раньше, поэтому число - - сопряжено с а. Так как /3

больше 1, число - - лежит между -1 и 0. Таким образом, любая чисто периодическая непрерывная дробь равна некоторой квадратичной иррациональности а; число а больше 1, а сопряженное с а число лежит между -1 и О и равно где /3

определяется непрерывной дробью с периодом, равным периоду непрерывной дроби для а, записанному в обратном порядке.

Замечательно, что это простое свойство полностью характеризует числа, представляемые чисто периодическими непрерывными дробями; как мы сейчас докажем, любое квадратично иррациональное число, удовлетворяюш;ее этому условию, разлагается в чисто периодическую непрерывную дробь. Это впервые точно доказал Галуа (Galois) в 1828 году, хотя неявно результат содержался и в более ранней работе Лагранжа (Lagrange).

Будем называть квадратично иррациональное число а приведенным, если а > 1 и если сопряженное к а, обозначаемое а, удовлетворяет условию - 1 < а < 0. Наша задача - доказать, что непрерывная дробь для такого а - чисто периодическая. Это доказательство, конечно, является более трудным, чем доказательство предыдуш;его результата, в котором мы исходили из непрерывной дроби; более того, это доказательство нельзя удовлетворительно иллюстрировать на численном примере.

Начнем с исследования вида приведенной квадратичной иррациональности. Мы знаем, что а удовлетворяет некоторому квадратному уравнению аа + Ьа + с = О с целыми а, Ь, с. Решив это уравнение, можно выразить а в виде

-Ь ± УЬ - Аас Р±л/Р 2 " Q

где Р и Q - целые числа, а D - положительное целое число, не являюш;ееся точным квадратом. Можно считать, что перед л/D стоит знак плюс, так как знак минус можно было бы заменить на плюс, изменив знаки у чисел Р и Q. Итак,