Теперь можно объяснить специфический вид непрерывной дроби для /N {N - натуральное число, не являющееся точным квадратом), который мы наблюдали в таблице. Непрерывная дробь для /N не может быть, конечно, чисто периодической, так как число, сопряженное к /N, равно -\/N и не лежит между -1 и 0. Рассмотрим число /N + qo где qo - целая часть /N. Сопряженным к этому числу является число -/N+qo, лежащее между -1 и 0. Значит, непрерывная дробь для /N + qo чисто периодическая, а так как эта дробь, очевидно, начинается с 2qo, она имеет вид

л/Х + до = 2до + ... ... (30)

qi+ qn+ 2qo+

Согласно уже установленному в этом пункте, непрерывная дробь

1 111

9п +-- ...-- 7,-\--Г • • • 5

qn-i+ qi+ 2qo+ qn+

получаемая из а обращением периода, равна---, где а = \/N+

+ до. Далее а = -/N + qo, значит,

11 111

= qi +

Oi \fN - qo 92+ * * * 9n+ 2go+

ввиду (30). Сравнивая последние две непрерывные дроби (и вспоминая, что разложение числа в непрерывную дробь однозначно), мы видим, что qn = gi, 9n-i =92, ... Следовательно, непрерывная дробь для /N всегда имеет вид

9о,9ь92,...,92,9ь2до.

Период этой дроби начинается сразу же после первого элемента qo и состоит из симметричной части gi, д2, ..., д2, gi, осле которой следует 2до. Симметричная часть может иметь или не иметь центрального элемента; например, в \/54 = 7, 2,1, 6,1, 2,14 имеется центральный элемент, в то время как в \/53 =7,3,1,1,3,14 его нет.

10. Теорема Лагранжа. Мы можем доказать теперь общую теорему Лагранжа о том, что всякая квадратичная иррациональность разлагается в непрерывную дробь, которая, начи-

10] ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА 105

ная с некоторого места, будет периодической. Достаточно показать, что, разлагая любую квадратичную иррациональность а в непрерывную дробь, мы, в конце концов, достигнем полного частного an-, являюгцегося приведенной квадратичной иррациональностью; тогда, начиная с этого места, непрерывная дробь будет периодической.

Соотношение между а и каким-либо его полным частным дается известной формулой (14):

а --.

Так как а и o+i - квадратичные иррациональности, а Л, Б, Ап-1 Вп-1 - целые (даже натуральные) числа, то такое же соотношение имеется и между а и anji- Выражая из него anji через о, получаем

, Bn-ia - An-i Вп-1 fa - An-i/Bn-i \

Впа-Ап ~ Вп\ а-Ап/Вп )

Какие сведения о величине aj-y при больших п дает это соотно-А А

шение? И -, и стремятся при бесконечном возрастании

Вп Вп-1

п к а следовательно, стоягцая в скобках дробь стремится к 1. Числа Вп-1 и Вп положительны, поэтому а начиная с неко-

хорого мес«., схановихся охрицахельным. Числа через одно

больше или меньше а поэтому стоягцая в скобках дробь один раз несколько меньше, а в следуюгций раз несколько больше 1. Если выбрать значение п, для которого эта дробь немного меньше 1, и заметить, что Бп-i < Бп? то получится, что а лежит между -1 и 0. Для такого значения п число o+i является приведенной квадратичной иррациональностью. Следовательно, начиная с этого шага, непрерывная дробь будет чисто периодической. Тем самым теорема Лагранжа доказана.

Лишь для немногих иррациональных чисел, не являюгцихся квадратичными иррациональностями, известны какие-нибудь закономерности, которым подчинены их непрерывные дроби.

Одним из таких примеров является число т, где е = 2,71828...

есть основание натуральных логарифмов. Непрерывная дробь

в этом случае имеет вид

е- 1 11 1 1

е + 1 2+6+ 10+ 14+ ее элементы образуют арифметическую прогрессию. Более того, если к - любое положительное число, то

е/ - 1 1 1 1 1 еУ + 1 ~ 3 5 7

Эти результаты были получены Эйлером в 1737 году. Непрерывная дробь для е несколько более сложна:

2 11111111 ~ 1+2+1+1+4+1+1+6+"

здесь числа 2, 4, 6, ... встречаются после каждой пары 1, 1. Этот факт также установил Эйлер.

Очень мало известно о непрерывных дробях для алгебраических чисел, не являюгцихся квадратичными иррациональностями. Нам неизвестно, например, ограничены или нет элементы непрерывной дроби для \/2:

\/2-1 111111

3+ 5+ 1+ 1+4+ 1+ • • •

и не видно никакого метода, с помогцью которого можно было бы взяться за такую задачу. Известны некоторые результаты о диофантовых приближениях алгебраических чисел (VH, 5), из которых следует, что элементы непрерывных дробей для таких чисел не могут расти быстрее, чем с некоторой скоростью. Но результаты, найденные этим способом, вероятно, далеки от действительно имеюгцих место.

11. Уравнение Пелля (Pell). Это уравнение

x-Ny = l или x = Ny + l, (31)

где N - натуральное число, не являюгцееся точным квадратом. Уравнение (31) не представляет интереса, если N - точный квадрат, так как разность двух точных квадратов не может быть равна 1, если исключить случай 1 - 0. Замечательно, что уравнение Нелля всегда имеет регпение с натуральными х и у; в действительности оно имеет даже бесконечно много таких