2] ПРОСТЫЕ ВИДА 4fc + 1 119

Аналогом равенства (4) служит равенство

13-2 = (-5) + 1

Следуюгций шаг состоит в перемножении двух равенств и применении тождества (1). Получаем 13-2-277 = (60 + 1)((-5) + + 12) = (60 . (-5) + Ы)2 + (60 . 1 - 1 . (-5))2 = (-299)2 + 65. Числа справа, как это и должно быть, делятся на 13, сокраш;е-ние приводит к равенству

2 . 277 = (-23)2 + 51

Далее этот процесс повторяется. Числа -23 и 5, приведенные по модулю 2, дают 1, соответствуюш;ее уравнение имеет вид

2-1 = 12 + 11

Перемножая его с предыдуш;им равенством и применяя тождество (1), получаем

22 . 1 . 277 = (-23 + 5)2 + (-23 - 5)2 = (-18)2 + (-28)2.

И, наконец,

277 = 92 + 142.

В связи с доказанной обш;ей теоремой нужно заметить что представление р в виде + у единственно (если исключить очевидные возможности замены х usl у и изменения их знаков). Ферма, обратив внимание на этот факт, назвал его «фундаментальной теоремой о прямоугольных треугольниках»: отсюда следует, что суш;ествует ровно один прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна у/р, а катеты измеряются натуральными числами.

Доказать единственность представления не трудно. Предположим, что имеет место равенство

p = x + y = X + Y. (6)

Мы знаем, что сравнение 2;2 + 1 = О (mod р) имеет ровно два решения: z = ±h (mod р). Значит,

x = ±hy (mod р) и X = ±hY (mod р).

Так как знаки чисел х у, X, Y несуш;ественны, можно считать, что выполнено

x = hy (mod р), X = hY (mod р). (7)

Перемножим равенства (6) и применим тождество (1). Тогда получим

= (х + у){Х + Y) = {хХ + yVf + {xY - уХ)\

Далее xY - уХ = О (mod р) в силу (7). Значит, оба числа справа делятся на ]9 и равенство можно разделить на р. Это дает представление 1 в виде суммы двух квадратов, а такое представление единственно: 1 = (±1) + 0. Таким образом, в предыдущем равенстве одно из чисел хХ + yY и xY - уХ должно быть равно 0. Если xY - уХ = О, то, так как х, у и X,Y взаимно просты, либо X = X и 2/ = F, либо X - -X и у = -Y. Аналогично, если хХ + yY - О, то либо X = Y и у = -X, либо х = -Y и у = X. В каждом из этих случаев оба представления в (6), по существу, одинаковы.

3. Конструкция для X ш у. Любое простое р вида Ak + l однозначно представимо как х + у; математики пытались найти выражения для х иу в терминах р, так как конструкция обычно приносит большее удовлетворение, чем чистое доказательство существования, хотя граница между ними не всегда отчетливо проводится. Известны четыре конструкции для х и у, они принадлежат Лежандру (1808), Гауссу (1825), Серре (1848) и Якобшталю (1906); мы изложим их, не входя в детали доказательств. Представляет интерес разнообразие методов, используемых в этих конструкциях.

Конструкция Лежандра основана на разложении у/р в непрерывную дробь. Это разложение имеет вид (IV, 9)

11 111

qi+ 92+ 92+ 9i+ 2go+ период состоит из симметричных частей gi, q2, ..., 9i за которыми следует 2до, В такой форме это применимо не только к простому вида 4А; + 1, но и к любому числу, не являющемуся точным квадратом. Напомним (см. IV, И), что если в симметричной части нет центрального члена, то разрешимо уравнение х -ру = -1. Верно и обратное, хотя это и не было доказано в (IV, 11). Лежандр совершенно элементарным способом доказал, что если р - простое вида 4А; + 1, то уравнение х - ру = - 1 разрешимо. Следовательно, в силу только что сформулирован-

«2 J

аз J

«4 J

Непрерывная дробь для \/29 поэтому равна 5, 2, 1, 1, 2, 10. Нужное нам полное частное - число а = а, отсюда Р = 2 и Q = 5, и 29 = 22 + 52.

Вторая конструкция была предложена Гауссом; по форме

ной обратной теоремы центральный элемент в разложении у/р отсутствует и период имеет вид

9ь 92, 9т, 9т, 92, 9i, 290-Пусть теперь а - полное частное, начинаюш;ееся в середине периода, именно:

1 1 1 )

а-ат-Ят 9m-i+ • • • 91+ 290+ 9i+ Это чисто периодическая непрерывная дробь, период которой состоит из Qraj 9m-1, • • •, 9i, 29о, 9i, • • •, 9m. Так как этот период симметричен, мы, как в (IV, 9), имеем а = - где а обозначает число, сопряженное с а. Представим теперь а в виде

р + Ур

С целыми Р и Q. Уравнение аа = - 1 дает

Q Q

p = P + Q\

Это - конструкция Лежандра. В качестве примера рассмотрим случай р = 29. Разложение \/29 в непрерывную дробь протекает так: