эта конструкция наиболее проста (хотя обосновать ее и не так просто). Если р = Ак + 1, положим

(2А:)!

X = (mod р), у= {2к)\х (mod р),

где X и у выбраны между - р и Тогда р = х + у. Доказательство было дано Когпи (Cauchy) и Якобгпталем (Jacobsthal), оба доказательства не очень просты. Чтобы проиллюстрировать конструкцию, положим снова р = 29. Тогда

= = 1716 = 5 (mod 29),

у = и\Х = и\5 = 2 (mod 29).

Эта конструкция, несмотря на свою элементарность, не очень удобна для вычислений.

Третья конструкция - конструкция Серре (Serret). Она, подобно построению Лежандра, использует непрерывные дроби, но здесь раскладывается в непрерывную дробь рациональное число. Разложим в непрерывную дробь (h удовлетворяет сравнению + 1 = О (mod р) и О < h < р). Можно доказать, что эта непрерывная дробь имеет вид

1 111 1

Г = 0 + . h qi +

qm+ qm+ qi+ qo

так что последовательность элементов непрерывной дроби симметрична и центральный член отсутствует. Используя обозначения главы IV, положим

qOi 9Ь • • • 5 9m

У = [9о,9ь

Зт-1

Тогда

р = х + у.

Например, если р = 29, то /i = 12, так как

12 + 1 = 145 = 5 • 29.

Непрерывная дробь

Отсюда

2+ 2+ 2

я; = [2, 2] = 5, у = [2] = 2.

/п{п -а)\

где а - какое-нибудь число, не сравнимое с О по mod р, а суммирование распространяется на некоторую полную систему вычетов, например на числа n = О, 1, 2, ..., р - 1. Легко доказать, что \S{a) \ имеет лигпь два возможных значения: одно, когда а - квадратичный вычет, другое, когда а - квадратичный невычет. Более того, оба этих значения четны, ибо слагаемое с n = О равно О, а слагаемые, соответствуюгцие п и -п, одинаковы, так как (-1р) = 1. Положим

x = l\S{R)\, y=l\S{N)l

где R - какой-нибудь квадратичный вычет, а 7V - какой-то квадратичный невычет. Тогда

р = х + ?/2.

Доказательство этого не очень трудно и основано главным образом на умелом применении равенства (18) главы П1.

В качестве примера возьмем опять р = 29. Положим i? = 1, а TV = 2 (2 - квадратичный невычет по модулю 29). Значения п{п - 1) по mod 29 состоят из О и чисел

6, -5, 2, 4, 7, -12, 11, -5, 4, -14, 5, 9, 4,

каждое из которых встречается дважды. Сумма соответствую-гцих им символов Лежандра равна 5, так что х = 5. Значения п{п - 2) по mod 29 состоят из О и чисел

-1, 4, -8, -2, -1, 1, 10, 3, -14, -6, 4,-7, -4, -10,

То же построение в несколько иной форме было предложено в 1855 году Смитом (Н. J. S. Smith). Он хотел дать простое и непосредственное доказательство того, что всякое простое число вида 4:к + 1 представимо как сумма двух квадратов. Не пользуясь сравнениями, Смит доказал, что сугцествует такое /i, что О < h < и непрерывная дробь имеет вид (8). Определяя х и 2/, как и раньгпе, он доказал, следуя Серре, что р = х + у.

Перейдем теперь к конструкции Якобгпталя (Jacobsthal). Она основана на построении, аналогичном рассмотренному в (П1, 6) в связи с распределением квадратичных вычетов. Рассмотрим следуюгцую сумму символов Лежандра:

взятых по два раза каждое. Сумма значений их символов Лежандра равна 2, откуда у = 2,

4. Представление четырьмя квадратами. Жирар (Gir-

ard) и Ферма заметили, что любое натуральное число представляется как сумма четырех квадратов целых чисел. Учитывая, что в таком представлении некоторые слагаемые могут равняться нулю, эту теорему можно перефразировать так: каждое натуральное число представляется как сумма не более четырех квадратов натуральных чисел. Некоторые историки считают, что этот факт был известен уже Диофанту из Александрии: он не указал необходимых условий представимости числа суммой четырех квадратов, отметив, однако, что суммой двух или трех квадратов могут быть представлены лигпь числа некоторого типа.

Эйлер многократно пытался доказать эту теорему, но без-успегпно. Его постигла неудача, быть может, из-за того, что он пытался представить каждое число в виде суммы двух чисел, каждое из которых представляется суммой двух квадратов. Таким путем доказать эту теорему нелегко. Первое доказательство было дано в 1740 году Лагранжем. Лагранж отметил, что им были использованы работы Эйлера.

Доказательство Лагранжа аналогично доказательству теоремы о сумме двух квадратов, рассмотренному в пп. 1 и 2, и лигпь немного сложнее его. В этом случае также имеется тождество, выражаюгцее произведение двух сумм четырех квадратов в виде суммы четырех квадратов. Это тождество (принадлежа-гцее Эйлеру) имеет вид

(а + Ь + с + d){A + В + С + D) =

= (аЛ + ЬВ + сС + dDf + {аВ - ЬА - cD + dC)4 (9) + {аС + bD-cA- dBf + {aD -ЬС + сВ- dAf.

Благодаря этому тождеству достаточно доказать, что каждое простое число представимо как сумма четырех квадратов; тогда представимость составных чисел будет следовать после повторного применения этого тождества. Так как мы знаем, что простое число 2 и все простые вида 4А: + 1 представляются в виде суммы двух квадратов, то остается лигпь доказать, что