4] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧЕТЫРЬМЯ КВАДРАТАМИ 125

любое простое вида Ак + З представимо в виде суммы четырех квадратов.

Как и в п. 2, доказательство распадается на два шага. Первый шаг состоит в доказательстве того, что некоторое кратное тр числа р, где О < m < р, представимо в виде суммы четырех квадратов. На следуюгцем шагу отсюда выводится, что само р представимо в таком виде. Первый шаг доказательства будет завершен, если мы установим разрешимость сравнения

+ ?/2 + 1 = О (mod р).

Действительно, можно выбрать решение с х и у численно меньшими и мы получим

тр = х + у + 1 + 0

т <---- < р.

Эйлер дал простое доказательство, устанавливаюгцее разрешимость (10) без всяких вычислений. Перепишем сравнение (10) в виде

х + 1 = -у (mod р).

Любой квадратичный невычет сравним с числом вида -у так как -1 - квадратичный невычет для любого простого вида 4:к + 3 (П1, 3). Таким образом, чтобы решить вышеупомянутое сравнение, достаточно найти квадратичный вычет R и квадратичный невычет N такие, что R + 1 = N. Если в качестве N взять первый квадратичный невычет в ряду 1, 2, 3, ..., то это условие, очевидно, будет выполняться, откуда и следует разрешимость сравнения.

Заметим, между прочим, что разрешимость сравнения (10) есть частный случай теоремы Шевалле (П, 8). Мы видели, что сравнение

х + у + = 0 (mod р)

разрешимо с х z не сравнимыми с 0. Предполагая z О и определяя X и Y так, чтобы х = Xz у = Yz получим + У2 + 1 = 0.

Перейдем теперь ко второму шагу доказательства, начина-югцемуся с представления тр в виде

тр = а + + + (11)

где О < m < р. Мы будем доказывать, так же как и в п. 2, что если m > 1, то найдется г, лежагцее в промежутке О < г < m и обладаюгцее тем же свойством, что и т. Отсюда, повторяя это рассуждение, можно получить, что 1 обладает этим свойством и, значит, р представимо в виде суммы четырех квадратов.

Начнем с приведения а, 6, с, d по модулю т\ именно, определим числа Л, Б, С, D так, чтобы они были сравнимы соответственно с а, 6, с, d по модулю т и удовлетворяли условиям

-\т < т, -\т < В т,

-т < С \т, -\т < D \т.

Сугцествует такое число г, что

тг = А + В + С + D. (12)

Число г не равно нулю, так как иначе все числа Л, Б, С, D равнялись бы нулю и все а, 6, с, (i были бы кратны т. Из (11) мы получили бы, что тр делится на т или р делится на т, а это невозможно, так как р простое, а т больше 1, но меньше р. Далее мы имеем

А + В + С + W + W + W + W г =-<-------- = т.

Но этого недостаточно; нам нужно, чтобы г было строго меньше т. Возможность г = т осугцествится, только если все Л, Б, С, D равны т. В таком случае т четно и все Л, Б, С, D сравнимы с т по модулю т. Но тогда = (mod m); аналогичные сравнения имеют место и для 6, с, d. Из (11) следует, что тр = О (mod m), а это, как мы уже видели, невозможно. Следовательно, число г в (12) удовлетворяет неравенству О < г < т.

Продолжая доказательство, перемножим равенства (И) и (12) и применим тождество (9). Получим

тгр = + + + w, (13)

5] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТРЕМЯ КВАДРАТАМИ 127

где через j;, w обозначены четыре выражения в правой

части (9). Все эти выражения представляют собой числа, делягциеся на т. Действительно,

X = аА + ЬВ + сС + dD = + + + = О (mod m), у = аВ - ЬА - cD + dC = ab - ba - cd + dc = О (mod m);

аналогично исследуются z и w. Мы можем сократить на обе части равенства (13); тогда получится представление гр в виде суммы четырех квадратов. Этим доказательство теоремы заканчивается.

Приведенное доказательство теоремы Лагранжа о сумме четырех квадратов немного прогце, чем его первоначальное доказательство, и по сугцеству совпадает с доказательством, данным позднее Эйлером. Хотя детали доказательства можно видоизменять, я не знаю никакого другого простого и элементарного доказательства, принципиально отличаюгцегося от этого.

5. Представление тремя квадратами. Это гораздо более трудный вопрос. Одна из трудностей в том, что здесь тождества типа (1) или (9) не имеют места. Действительно, легко видеть, что произведение двух чисел, каждое из которых есть сумма трех квадратов, не обязано само быть суммой трех квадратов. Например, 3 = 1 + 1 + 1 и 5 = 2 + 1 + 0, в то же время 15 не представимо в виде суммы трех квадратов.

Как и в п. 1, мы можем установить, что некоторые числа не представимы в виде суммы трех квадратов. Любой квадрат сравним с О, 1 или 4 по модулю 8. Следовательно, сумма трех квадратов не может быть сравнима с 7 по mod 8: 7 нельзя представить как сумму трех чисел, каждое из которых равно О, 1 или 4. Значит, числа вида 8А: + 7 не представляются в виде суммы трех квадратов. Кроме того, число, делягцееся на 4, скажем 4т, представимо в виде суммы трех квадратов, только если так представимо само т. Действительно, любой квадрат сравним с О или 1 по mod 4, так что сумма трех квадратов делится на 4 только, если все квадраты четны. Таким образом, числа вида 4(8А: + 7), 16(8А: + 7) и так далее в виде суммы трех квадратов не представляются. Вообгце ни одно число вида 4(8А: + 7) не является суммой трех квадратов.