Оказывается, что каждое число иного вида представимо в виде суммы трех квадратов. Первое доказательство этого факта дал Лежандр, однако по ходу доказательства он предполагал, что любая арифметическая прогрессия а, а + 6, а + 26, ..., где а и b взаимно просты, содержит бесконечно много простых чисел. Этот факт впервые в 1837 году (т. е. через сорок лет после работы Лежандра) доказал Дирихле. Гаусс в своих «Арифметических исследованиях» (Disquisitiones Arithmeticae) дал полное доказательство теоремы о сумме трех квадратов; его доказательство основано на довольно трудных результатах развитой им теории квадратичных форм. Были даны и другие доказательства, но ни одно из них не является одновременно простым и элементарным.

Замечания к главе V. п. 1. Читатель, знакомый с комплексными числами, узнает в тождестве (1) равенство \af3\ = \a\\f3\, где а = а -\- ib, (3 = с -\- id. Числа вида а -\- ib с целыми а и b называются целыми числами Гаусса; представить число п в виде суммы двух квадратов - значит найти целое число Гаусса а-\-гЬ с нормой + 6, равной п. На языке целых чисел Гаусса эта теория принимает более изягцную форму.

п. 3. Для ссылок, см. vol. П, ch. 6 и vol. HI, ch. 2). Указанные конструкции, вообгце говоря, не дают для х и у положительных значений, хотя при р = 29 мы получили положительные х и у.

п. 4. Тождество (9) так же относится к кватернионам, как тождество (1) относится к комплексным числам (см. замечание кн. 1). Гурвиц рассмотрел вопрос о представлении четырьмя квадратами с помощью кватернионов; см. об этом (9, ch. 20).

п. 5. Доказательство теоремы о трех квадратах, основанное на теореме Дирихле о простых в арифметических прогрессиях, дано в книге Ландау {, pp. 114-121).

Число представлений. Недостаток места не дает возможности рассказать об известных формулах для количества представлений числа п в виде суммы двух и четырех квадратов. В этих формулах подсчитывается число представлений целыми числами (положительными, отрицательными и нулем), причем два не тождественных представления считаются различными. Правило подсчета числа представлений (предложенное Лежандром) состоит в следующем. Подсчитаем число делителей п вида 4ж + 1 и число делителей п вида

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ V 129

4ж + 3. Если количества этих делителей обозначить соответственно через Di и Ds, то количество представлений числа п будет равно 4:{Di - Бз). Для четырех квадратов правило подсчета числа представлений нашел Якоби; он вывел это правило из одного тождества, связываюгцего два бесконечных ряда. Если п нечетно, то число представлений п суммой четырех квадратов равно 8а{п). Если п четно, положим п = 2п где п нечетно; тогда число представлений п будет равно 24сг(п). Здесь, как и в (I, 5), сг(п) обозначает сумму делителей п. Доказательство этих результатов можно найти, например, в книге chs. 16, 20). Количество представлений числа в виде суммы трех квадратов является гораздо более сложной функцией; его можно выразить через число классов квадратичных форм (VI, 9).

ГЛАВА VI

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

1. Введение. В главе V мы нагали необходимое и достаточное условие представимости числа в виде суммы двух квадратов, условие, связанное с простыми множителями этого числа. Эйлеру и другим математикам восемнадцатого столетия удалось найти необходимые и достаточные условия представимости числа в виде + 2у или х + Зу; такие условия выражаются в терминах простых делителей числа. Эти математики, естественно, попытались, получить аналогичные результаты для обгцей квадратичной формы. Под квадратичной формой будем понимать выражение

ах + Ьху + су,

являюгцееся однородным полиномом второй степени от своих переменных и имеюгцее целые коэффициенты а, 6, с. Мы ограничимся рассмотрением форм от двух переменных или бинарных форм, хотя имеется также теория квадратичных форм от трех переменных (тернарные формы) или от любого числа переменных.

Теория квадратичных форм впервые была развита Лагранжем в 1773 году, ему принадлежат здесь многие основные идеи. Эта теория была упрогцена и расгпирена Лежандром, а затем Гауссом, который ввел много новых понятий, использовав их для доказательства трудных и глубоких теорем, ускользавгпих от Лагранжа и Лежандра.

Классической задачей теории квадратичных форм является проблема представления: если дана квадратичная форма, то какие числа она представляет? Простой ответ можно дать лигпь для некоторых форм частного вида, как х + у или х + 2у, или х + Зу; но в обгцем случае ответ на этот вопрос далеко не прост. Теорией дается простой ответ на несколько другой