Первый коэффициент получившейся формы по-прежнему равен п, а средний коэффициент равен уже h + 2ип. Следовательно, две формы с первым коэффициентом п и средними коэффициентами, отличаюш;имися на кратное 2п, эквивалентны. Поэтому достаточно рассматривать формы, для которых h удовлетворяет и сравнению (8), и неравенству (9).

5. Три примера. Рассмотрим сначала форму х + дискриминанта -4. В п. 7 будет доказано, что все формы дискриминанта -4 эквивалентны между собой. В силу обш;его принципа отсюда следует, что целое число п собственно представляется формой х + тогда и только тогда, когда разрешимо сравнение

/г = -4 (mod 4п).

Так как удовлетворяюш;ее этому сравнению h должно быть четным, то мы можем разделить обе части этого сравнения на 4 и вместо него рассматривать сравнение

= -1 (mod n). (10)

Вопрос о разрешимости этого сравнения, очевидно, связан с теорией квадратичных вычетов. Во-первых, согласно обш;ему принципу, управляюш;ему разрешимостью сравнений по составному модулю (П, 6), достаточно выяснить, разрешимо ли сравнение

= -1 (mod /) (11)

для каждой степени простого числа, входяш;ей в разложение п.

Сравнение (И) не может быть разрешимо, если р имеет вид Ак + 3, так как -1 является квадратичным невычетом по такому модулю (П1, 3). Если р есть простое вида 4А: + 1, то, как известно, при г = 1 это сравнение разрешимо, ибо -1 является квадратичным вычетом по такому модулю. Легко доказать по индукции, что рассматриваемое сравнение разрешимо тогда и для любого показателя г. Например, если г равно 2, то возьмем hi для которого hi = -1 (mod р), и попытаемся удовлетворить сравнению h = -1 (mod р), полагая h = hi + tp, где t - новое неизвестное. Имеем

h + l = (hi+tpf + l = hl + l + 2thip + tp.

5] ТРИ ПРИМЕРА 141

Это выражение разделится на р, если

{hl + l) + 2th = 0{mod р);

здесь первое слагаемое является по предположению целым числом. Это - линейное сравнение относительно t; оно разрешимо, так как 2hi не сравнимо с О по mod р. То же рассуждение применимо и для более высоких показателей; чтобы решить сравнение при г = 3, возьмем число /i2 такое, что Щ = -1 (mod р), и положим h = h2 + tp в результате мы опять получим для t линейное сравнение по модулю р.

Этим решается вопрос о разрешимости сравнения (И) для простых вида 4А: + 1 и 4А: + 3. Остается простое число 2. Для этого числа при г = 1 сравнение очевидным образом разрешимо (решением служит /г = 1). Но оно не разрешимо, если г 2, так как любой квадрат сравним с О или с 1 по mod 4 и, следовательно, не может быть сравним с -1 по mod 2 при г 2.

Поэтому сравнение (10) разрешимо в том и только том случае, если п не имеет простых множителей вида ik + 3 и не делится на 4. Это - необходимое и достаточное условие собственной представимости п в виде х + у. Если допустить умножение на любой квадрат, то получится условие представимости числа суммой двух квадратов (собственно или несобственно), уже установленное в главе V.

В качестве второго примера рассмотрим положительно определенную форму х + ху + у дискриминанта -7. В п. 7 будет доказано, что все формы дискриминанта -7 эквивалентны между собой. Предположив это, мы должны решить, для каких чисел п разрешимо сравнение

= -7 (mod 4n). (12)

Предположим для простоты, что п нечетно, так что 4 и п взаимно просты. Сравнение /г = -7 (mod 4), конечно, разрешимо, например, при h = 1, Сравнение /г = -7 (mod р) разрешимо для тех простых р, для которых -7 является квадратичным вычетом по mod р. Квадратичный закон взаимности указывает нам, какие р обладают этим свойством. Если р не равно 7, то

что равно +1 для простых р вида 7к + 1, 7к + 2 или 7А: + 4 и равно - 1 для простых р вида 7А: + 3, 7к + 5 или 7к + Q. Так же как и раньше, можно доказать, что если рассматриваемое сравнение разрешимо для некоторого простого модуля, то оно разрешимо и для любой степени этого простого. Остается рассмотреть случай р = 7, В этом случае сравнение Ь? = -7 (mod 7), очевидно, разрешимо (/г = 0), но сравнение Ь? = -7 (mod 7) уже не разрешимо. Таким образом, сравнение (12) разрешимо в том и только том случае, когда п не делится на простые вида 7к + + 3, 7к + Ъу 7к + Q и не делится на 49. Это и есть необходимое и достаточное условие собственной представимости нечетного числа п в виде + ху + у.

В качестве последнего примера рассмотрим неопределенную форму х - 2у дискриминанта 8. Все формы дискриминанта 8 эквивалентны между собой, хотя мы этого доказывать не будем. В этом случае следует рассматривать сравнение

= 8 (mod 4n), где п = п,

которое можно заменить сравнением h? = 2 (mod п). Сравнение h? = 2 (mod р) разрешимо для простых р вида 8А: + 1 или 8А: - 1, но не разрешимо, если р - простое вида 8А: + 3 или 8А: - 3. Если ]9 = 2, то сравнение разрешимо при г = 1 и не разрешимо при г 2. Таким образом, число п (положительное или отрицательное) собственно представляется формой х - 2у тогда и только тогда, когда \п\ не имеет простых делителей вида 8к + 3 и 8к - 3 и не делится на 4.

Конечно, не всегда бывает так, что условие представимости неопределенной формой зависит только от п и одинаково для п и -п. Причина, по которой это обстоятельство имеет место здесь, в том, что формы х - 2у и -х + 2у эквивалентны (так как все формы дискриминанта 8 эквивалентны между собой).

6. Редукция положительно определенных форм. Сугцествует бесконечно много форм данного дискриминанта d] их можно разбить на классы, относя две формы в один класс тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Как мы увидим позднее, число классов эквивалентных форм данного дискриминанта d конечно.