6] РЕДУКЦИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫХ ФОРМ 143

Пусть дана какая-нибудь форма, среди эквивалентных ей форм желательно найти форму простейшего вида. Это достигается с помогцью теории приведения. Теория приведения строится по-разному для определенных и неопределенных форм; мы ограничимся здесь рассмотрением определенных форм. Теория приведения неопределенных форм труднее, и недостаток места не позволяет нам изложить основы этой теории.

Теория приведения положительно определенных форм была построена Лагранжем. Заметим прежде всего, что у положительно определенной формы коэффициенты а и с положительны; b может быть и положительным, и отрицательным. Мы сосредоточим внимание на а и 6 и рассмотрим две операции эквивалентности, с помогцью которых одно из этих чисел можно уменьшить, не изменяя другого. Эти операции таковы:

(I) Если с < а, форма (а, 6, с) заменяется на эквивалентную ей форму (с, -6, а).

(П) Если I 6 > а, форма (а, 6, с) заменяется эквивалентной ей формой (а, 6i, Ci), где bi = b + 2иа и целое число и выбрано так, что I 6i а; при этом Ci можно найти из равенства

bl - iaci = d.

Эквивалентность в (I) осугцествляется подстановкой х = у = -X, а эквивалентность в (П) - подстановкой х = X + uY у = Y использованной в конце п. 4.

С помош;ью операции (I) мы уменьшаем а, не изменяя значения I 6, ас помош;ью операции (П) уменьшаем 6, не изменяя значения а. Если дана какая-нибудь форма, мы можем применять эти операции до тех пор, пока не найдем форму, которая не удовлетворяет ни одному из предположений, необходимых для осуш;ествления этих операций; очевидно, что такая форма может быть получена в конечное число шагов. Коэффициенты этой формы удовлетворяют неравенствам

с а и I 6 а. (13)

Таким образом, мы доказали, что любая положительно определенная форма эквивалентна форме, коэффициенты которой удовлетворяют условиям (13).

в качестве иллюстрации применим описанный процесс приведения к форме (10,34,29) дискриминанта -4. Здесь 6 > а, применяя (II), добьемся, чтобы b принадлежало интервалу от - 10 до 10; для этого вычтем из b подходящее кратное 20, в данном случае 40. После вычитания получим форму (10, -6, ?), в которой неизвестный третий коэффициент находится по дискриминанту. Обозначая этот коэффициент через Ci, находим (-6) - 40ci = -4, откуда Ci = 1. Новая форма имеет вид (10, -6,1); применяя теперь операцию (I), получаем форму (1, 6,10). Далее применим (II), что приведет нас в этом случае к форме с нулевым средним коэффициентом. Мы получим форму (1, О, ?), в которой неизвестный третий коэффициент равен 1 (он находится по значению дискриминанта). Таким образом, мы доказали, что данная форма эквивалентна форме (1, 0,1).

Бывает, что исходная форма удовлетворяет условиям применения обеих операций (I) и (II). Например, если дана форма (15,17,10), то мы можем начать либо применением (I), тогда получится форма (10, -17,15); либо применением (II), тогда получится форма (15, -13, 8).

Возвращаясь к неравенствам (13), отметим, что в двух случаях мы можем с успехом применить одну из этих операций, даже если условия (13) выполняются. Во-первых, если b = -а, то, применяя (II), можно заменить b на а. Во-вторых, если с -а, то, применяя операцию (I), можно изменить знак 6, добившись таким образом, чтобы b было положительным или равнялось нулю. Принимая во внимание эти две возможности, находим, что любая положительно определенная форма эквивалентна форме, коэффициенты которой удовлетворяют условию:

либо О а и -а < 6 а, . .

либо с = а и 06 а.

Если коэффициенты формы удовлетворяют условиям (14), то она называется приведенной.

Имеет место замечательная и важная теорема о том, что существует одна и только одна приведенная форма, эквивалентная данной форме. Соответствующее доказательство не очень трудно, но требует все же рассуждений более искусных, чем использованные выше. Основная идея доказательства состоит в

нахождении инвариантной интерпретации коэффициентов приведенной формы, показывающей, что приведенная форма, эквивалентная данной форме, единственна. Например, можно доказать, что первый коэффициент а приведенной формы есть наименьшее число, собственно представляемое этой формой. Из-за недостатка места мы опускаем доказательство упомянутого факта.

Вопрос об эквивалентности двух данных форм может быть (благодаря указанной теореме) решен посредством приведения этих форм. Если обе приведенные формы окажутся одинаковыми, то исходные формы эквивалентны, в противном случае эти формы не эквивалентны.

7. Приведенные формы. Из неравенств (14) легко следует, что существует лишь конечное число приведенных форм данного отрицательного дискриминанта d. Действительно, положим d = -Z), тогда D положительно и

Аас -Ь = D. (15)

Так как в силу (14) 6 ас, то Зас D. Существует только конечное число положительных целых чисел а и с, удовлетворяющих этому условию; при каждом выборе а и с (в силу (15)) для b имеется не более двух возможностей, откуда и следует требуемый результат. Число приведенных форм совпадает, конечно, с числом классов эквивалентных форм, ибо в каждом классе имеется ровно одна приведенная форма. Это число называется числом классов дискриминанта d.

Вероятно, быстрейший способ пересчета приведенных форм данного дискриминанта состоит в следующем. Заметим прежде всего, что 6 ас и 4ас = D + Ь. Кроме того, b четно, если = О (mod 4), и нечетно, если = 3 (mod 4) (это соответствует случаю d = 1 (mod 4)). Заметив это, следует перебрать все значения b подходящей четности (положительные и отрицательные) вплоть до yJ\D и представить \{D + b) в виде ас всеми возможными способами, а затем выбросить тройки а, 6, с, не удовлетворяющие условию (14).

Например, если d = -4, так что = 4, то Ь л/ и 6