8] число ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 149

отвечает подстановка, преобразующая форму (а, 6, с) в эквивалентную ей форму (п, /i, /) с первым коэффициентом п, второй коэффициент формы (п, /г, /) удовлетворяет сравнению

= d (mod 4n) (17)

и неравенству

О /г < 2n. (18)

Чтобы подсчитать полное число представлений i?(n), мы должны подсчитать, сколько чисел h удовлетворяет (17) и (18) и сколько представлений (16) отвечает одному и тому же h.

Начнем со второго подсчета. Одно и то же /г не может происходить от двух различных приведенных форм: эти формы были бы эквивалентны одной и той же форме (п, /г, /), что невозможно. Если два представления п формой (а, 6, с) приведут к одному и тому же числу /г, то соответствующие им подстановки можно скомбинировать (применяя сначала первую подстановку, а затем подстановку, обратную ко второй) так, что получится подстановка, переводящая (а, 6, с) в себя. Легко видеть, что число представлений п, приводящих к одному и тому же значению /г, равно числу унимодулярных подстановок, преобразующих (а, 6, с) в себя.

Здесь возникает вопрос, который мы еще не рассматривали. Унимодулярная подстановка, переводящая форму в себя, называется автоморфной подстановкой, или автоморфизмом формы. У всякой формы имеются два очевидных автоморфизма: тождественная подстановка х = у = Y и отрицательная тождественная подстановка х = -Х у = -У. В общем случае других автоморфизмов нет; но есть два исключения. Форма х + + имеет еще два автоморфизма: х = У у = -X и х = -F, 2/ = X, т. е. всего четыре автоморфизма. Форма х + ху + у имеет четыре дополнительных автоморфизма:

(I) x = X + Y, у = -Х,

(II) x = -X-Y, у = Х,

(III) х = У, у = -Х-У,

(IV) х = -У, y = X + Y,

т. е. всего шесть автоморфизмов. Можно доказать, что этот список автоморфизмов полный; число автоморфизмов, скажем w, равно 6, если d = -3; w равно 4, если d = -4; и w равно 2 в

остальных случаях. Это относится только к примитивным формам; импримитивная форма 2х + 2у имеет, конечно, те же автоморфизмы, что и форма х + у.

Таким образом, полное число R{n) собственных представлений п всеми приведенными формами дискриминанта d есть взятое W раз число значений h, удовлетворяющих сравнению (17) и неравенству (18).

Остается теперь найти число решений сравнения (17); мы ограничимся рассмотрением частного случая d = -4. Наше пре-дыдуш;ее предположение о том, что п взаимно просто с в этом случае означает просто нечетность п. Сократив сравнение (17) на 4 и неравенство (18) на 2, найдем число решений

= -1 (mod n) (19)

при условии

0h<n, (20)

Согласно обш;ему принципу (II, 6), это число равно произведению количеств решений сравнений

= -1 (mod /) (21)

по всем простым степеням, составляюш;им п.

Сравнение (21) не разрешимо для всех р вида 4А: + 3 и имеет два решения, если р = 4:к + 1иг = 1. С помош;ью метода, использованного в п. 5, можно легко доказать, что если р = 4А: + + 1, то и при г > 1 будет ровно два решения. Таким образом, число решений (19) равно О, если п имеет хоть один множитель вида 4А: + 3, и равно 2, если п имеет s различных простых множителей вида 4А: + 1 и ни одного множителя вида 4А: + 3. Так как для формы х + у будет w = 4, то число собственных представлений нечетного числа п формой х + у равно 4-2% если п имеет s различных простых множителей вида 4А: + 1 не имеет ни одного множителя вида ik + 3. Если же п имеет хоть один простой множитель вида 4А: + 3, то форма х + у собственно не представляет числа п.

Представления можно разбить на группы по 8 представлений; в каждой группе представления получаются из одного изменением знаков X и у я заменой у на х. Поэтому число сугцественно различных представлений равно не 4 • 2, а 2".

9] число КЛАССОВ 151

9. Число классов. Обозначим через C{d) число классов форм дискриминанта равное числу приведенных форм дискриминанта d. Ограничимся для простоты рассмотрением дискриминантов, для которых каждая форма примитивна; такие дискриминанты называются фундаментальными. Вот несколько примеров из таблицы II:

С(-3) = 1, С(-4) = 1, С(-51) = 2, С(-71) = 7.

Мы можем, конечно, интерпретировать C{d) как число троек (а, &, с), удовлетворяюгцих равенству Ь - 4ас = 1 и неравенствам (14) из п. 6.

Имеется замечательная формула для C{d) дающая возможность определить это число, не обращаясь к квадратичным формам. Формула принимает простейгпий вид, если d = -где р простое {р должно иметь вид 4А: + 3, так как d = О (mod 4) или d = 1 (mod 4)). Образуем сумму, скажем, А всех квадратичных вычетов по mod р и сумму В всех квадратичных невычетов. Тогда

С{-Р) = f. (22)

Например, если р = 23, квадратичными вычетами будут числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18 с суммой 92, а квадратичными невычетами - числа 5, 7, 10, 11, 14, 15, 17, 19, 20, 21, 22 с суммой 161.

Из формулы (22) следует, что

Это совпадает с табличным значением С(-23). Открытие этой замечательной формулы, вероятно, принадлежит Якоби, хотя, возможно, она была независимо переоткрыта Гауссом. Якоби доказал, что число обладает некоторым общим с числом классов С{-р) свойством, а затем, исследовав много численных примеров, пригпел к выводу, что эти числа тождественны. Он сообщил об этом в 1832 году, отметив, что доказательство этой формулы ему найти не удалось. Первое опубликованное (1838 г.) доказательство принадлежит Дирихле; общая формула называется формулой Дирихле для числа классов. В доказательстве Дирихле использовались бесконечные ряды, и оно было тесно