*) В 1927 году ленинградским математиком Б. А. Венковым было получено элементарное доказательство этой формулы для случая Sk -\- 7. **) Здесь р> 3. {Прим. перев.)

связано с его доказательством существования простых в арифметических прогрессиях. Несмотря на многочисленные попытки, все еще нет элементарного доказательства *) этой формулы, т. е. доказательства, использующего только целые числа и не содержащего никаких предельных переходов. Это весьма удивительно, ибо формула устанавливает равенство двух натуральных чисел. Элементарно даже не доказано, что Б > Л, хотя из формулы для числа классов следует, что это так.

Тот факт, что В - А кратно р и даже что и Л, и Б кратны вполне элементарен. Квадратичные вычеты сравнимы с 1, 2, - 1)) , а эту сумму легко вычислить и доказать,

что она кратна р Значит, Л кратно а так как Л+ Б = 1 +

+ 2 +----h (р - 1) = р{р - 1), то Б также делится на р.

Имеются и другие формулы для С(-р), эквивалентные (22); некоторые из них более удобны для вычислений, чем указанная формула (22). Мы отметили эту формулу, так как она просто формулируется и не требует рассмотрения нескольких частных случаев. Ряд формул можно обобщить и на случай, когда d не равно -р.

Что касается величины числа классов, то Гаусс, проделав большие вычисления, высказал предположение, что C{d) стремится к бесконечности, если d стремится к бесконечности. Эту гипотезу впервые доказал в 1934 году Гельбронн (Heilbronn), его доказательство - важный вклад в аналитическую теорию чисел. Последний известный дискриминант, для которого C{d) = 1, равен -163. Гельбронн и Линфут (Linfoot) доказали, что существует еще не более одного дискриминанта, обладающего этим свойством. Вероятно, такого дискриминанта вообще нет; Лемер (Lehmer) доказал, что такого дискриминанта нет вплоть до -500 000 000.

Замечания к главе VI. п. 1. Для квадратичных форм используют два разных обозначения. Одно из них употреблялось нами: ах + Ьху + су. Другое обозначение ах + 2Ьху + су предполагает четность второго коэффициента. Второе обозначение исключает такую форму, как + + у, но, конечно, свойства этой формы

ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ VI 153

можно вывести из свойств допускаемой этим обозначением формы 2х + 2ху + 2у2. Обозначение без множителя 2 употреблялось Лагранжем, Кронекером и Дедекиндом, второе обозначение употребляли Лежандр, Гаусс и Дирихле. Взглянув на эти великие имена, мы вправе предположить, что ни одно из обозначений не обладает решающим преимуществом перед другим; и действительно, некоторые результаты имеют более простой вид при первом обозначении, другие выглядят проще при втором.

Наиболее доступное изложение теории квадратичных форм можно найти в книгах Матье () и Диксона ()*). У Диксона, как и у нас, использовано обозначение Лагранжа, Матье пользуется обозначениями Гаусса. Доказательство различных результатов, которые приводятся в этой главе без доказательства, можно найти в упомянутых книгах. Изложение общей теории квадратичных форм имеется в книгах: В. W. Jones, The Arithmetic Theory oi Quadratic Forms (Cams Monograph, № 10, 1950) и G. L. Watson, Integral Quadratic Forms (Cambridge Math. Tracts, № 51, 1960).

П. 2. Формы, которые переводятся одна в другую подстановкой с определителем -1, называют несобственно эквивалентными. Использование подстановок с определителем -1 усложняет теорию автоморфизмов и для определенных, и для неопределенных форм.

п. 8. Из количества собственных представлений числа суммой двух квадратов, найденного в этом пункте, можно вывести, что полное число представлений (собственных и несобственных) равно 4(Z?i - Бз), как это указывалось в замечаниях к главе V; при этом п может быть как четным, так и нечетным.

п. 9. Об исследовании Якоби см. книгу Бахмана (Bachmann, Die Lehre von der Kreisteilung, Teubner, 1927). Доказательство формулы Дирихле для числа классов имеется в книгах (, vol. 1, р. 127-180), (11, ch. 8)**).

О работах Гельбронна (Heilbronn) и Гельбронна и Линфута (Lin-foot) см. Quart. J. of Math., 5 (1934), 150-160 и 293-301.

Примечание переводчика. Элементарное доказательство формулы для числа классов, принадлежащее Б. А. Венкову, изложено в его книге (, гл. 6) и в работе в Mathematische Zeitschrift, 33:3, 1931, 350-374.

*) Эта теория излагается также в книгах Б. А. Венкова () и Дирихле (). {Прим. перев.)

**) Эта формула доказана также в книге Дирихле (, гл. 5). {Прим. перев.)

ГЛАВА VII

НЕКОТОРЫЕ ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

1. Введение. Диофантовым или неопределенным уравнением называют уравнение, которое должно быть решено в целых числах. Мы уже встречали некоторые диофантовы уравнения, например, уравнение + = п в главах V и VI, уравнение х - Ny = 1 в главе IV.

Вероятно, ни одна из областей теории чисел не сталкивается с такими трудностями, как теория диофантовых уравнений, если исследование диофантовых уравнений можно назвать теорией. При беглом взгляде на обширную литературу создается впечатление, что установлено с помош;ью различных искусственных приемов много результатов, связанных с отдельными уравнениями; кажется весьма затруднительным объединить эти результаты в обш;ую теорию. Иногда, решив уравнение искусственным приемом, удается создать обгцую теорию, связанную с найденным решением, разумно объясняюгцую возникновение этого решения и показываюгцую, насколько найденное решение можно обобш;ить. Но внутренние трудности предмета настолько велики, что область применения такой теории обычно очень ограничена. Если удается развить достаточно глубокую теорию диофантовых уравнений специального вида (например, теорию квадратичных форм), то такая теория получает право на самостоятельное суш;ествование.

В этой главе мы рассмотрим некоторые диофантовы уравнения, допускаюш;ие элементарное исследование, и укажем, где это возможно, обгцие теории, связанные с этими уравнениями.

2. Уравнение х + у = z. Целочисленные решения этого уравнения (например, 3 + 4 = 5) были известны издавна. Вавилонские таблицы, датируемые примерно 1700 годом до нашей эры, содержат обширный список решений, причем некоторые