нарушило бы единственность разложения на простые множители: к любому произведению можно присоединить множителем

1, не изменив значения этого произведения.

5. Следствия из основной теоремы. Основная теорема арифметики, доказанная в предыдуш;ем пункте, устанавливает, что любое натуральное число может быть представлено как произведение простых одним и только одним способом, если в качестве разложения на простые простого числа брать само это число и считать пустое произведение равным 1.

Если известно разложение числа на простые, то сразу же можно ответить на различные вопросы, связанные с этим числом. Прежде всего можно указать все делители этого числа. Посмотрим сначала, как это сделать в одном частном случае. Возьмем тот же численный пример, что и раньше:

666 = 2 . 3 . 3 . 37.

Делителем числа 666 является такое число для которого 666 = = dd! где d - другое натуральное число. По основной теореме арифметики разложения d и на множители должны давать в произведении

2 . 3 . 3 . 37.

Поэтому d должно быть произведением некоторых из простых

2, 3, 3, 37, ad - произведением остальных. (Сделанное ранее соглашение о том, что пустое произведение равно 1, полезно и здесь, ибо дает возможность включить в формулировку крайние случаи: d равно 1 или d равно 1.) Выбирая простые всеми возможными способами, получаем все делители 666, именно:

1, 2, 3, 37,2-3, 2-37, 3-3, 3-37, 2.3-3, 2 - 3 - 37, 3 - 3 - 37, 2 - 3 - 3 - 37.

Эта ситуация является совершенно обш;ей, и остается лишь выбрать обозначения, в которых ее прош;е всего описать. Пусть п - произвольное натуральное число, большее 1, и пусть р, г, ... - различные простые в его разложении. Предположим, что р встречается а раз в разложении п, q встречается b раз и так далее. Тогда

n=pV... (1)

в этом случае всевозможные делители п суть произведения вида pq..., в которых показатель а принимает значения О, 1, ..., а, показатель (3 - значения О, 1, ..., и так далее *1 Это доказывается так же, как и в предыдущем примере; доказательство основано на фундаментальной теореме арифметики. В примере с п = 666 имеются три различных множителя 2, 3, 37; их показатели равны соответственно 1, 2, 1. Поэтому все делители числа 666 задаются формулой

2337,

в которой а равно О или 1, /? равно О, 1 или 2, 7 равно О или 1. Выписав их, получим указанные ранее делители 666.

Чтобы найти количество всех делителей числа п, достаточно подсчитать число всевозможных значений показателей 7, ... В общем случае, когда п представлено в виде (1), показатель а равен одному из чисел О, 1, а и, значит, для него имеется а + 1 различных возможностей. Аналогично для Р имеется Ь + 1 различных возможностей, и так далее. Выборы различных показателей о, ... не зависят один от другого, и разным наборам значений для о, ... соответствуют различные делители п в силу единственности разложения на простые. Следовательно, полное число делителей п равно

(а + 1)(Ь+1)...

Обычно полное число делителей числа п (включая 1 и п, как мы это и делали) обозначают через б?(гг)**. Используя это обозначение, можно сказать, что если п = pq..., где р q - - - - различные простые, то

d{n) = (а + 1)(Ь+1)...

В рассмотренном примере показателями служат числа 1, 2, 1 и число делителей равно

2-3-2 = 12.

Можно рассмотреть также сумму делителей п, включая 1 и п. Эта сумма обозначается обычно через а(п). Если разложение п на простые написано в виде (1), то а{п) получается по фор-

Мы считаем, как обычно, что нулевая степень числа равна 1. Принято также обозначение г(п). {Прим. перев.)

муле

Действительно, после раскрытия скобок это выражение представляется суммой всевозможных произведений вида pq ..., где а принимает каждое из значений О, 1, ..., а, /3 - значения О, 1, ..., Ь и так далее. Эти произведения образуют все делители п. В прежнем численном примере будет

а(666) = (1 + 2)(1 + 3 + 3)(1 + 37) = 3 • 13 • 38 = 1482;

это также можно подсчитать, просто выписав все делители и сложив их. Арифметические функции d{n) и сг(гг), а также функция (р{п) с которой мы встретимся позднее, табулированы вплоть до n = 10 000 (см. Number-divisor Tables, vol. VHI, British Assoc. Math. Tables, Cambridge, 1940).

Древние греки уделяли больгпое внимание совершенным числам, которые они определяли как числа п, обладаюгцие тем свойством, что сумма делителей п, включая 1, по исключая п, равна самому п. Простейгпий пример - число 6:

1 + 2 + 3 = 6.

Другой способ определения - потребовать, чтобы выполнялось равенство

сг(гг) = 2гг,

ибо сг(гг) есть сумма всех делителей, включая само п. Евклидом (книга IX, предложение 36) было доказано, что если р - простое число, а число р+1 является степенью 2, скажем, р+1 = = 2, то число 2~V ~ совергпеппое. Действительно, из ранее выведенной формулы для а{п) находим

а(2-) = {1 + 2 + ... + 2-}{1 + р}.

1 + 2 + ... + 2-1 = 2 - 1 = р, 1 + р = 2

откуда а{п) = 2п при п = 2~р. Эйлер в работе, опубликованной после его смерти, дополнил результат Евклида, доказав, что каждое четное совергпенное число имеет форму Евклида. Неизвестно, сугцествуют ли какие-нибудь нечетные совергпен-пые числа; неизвестно также, бесконечно ли количество четных