из этих решений довольно велики. Это уравнение интересовало греческих математиков в связи с теоремой Пифагора; его обгцее решение дал Евклид (книга X, лемма 1 к предложению 29).

Разделив уравнение на z и вводя новые переменные х/z = = X,, у/Z = Yполучаем

Х2 + Г2 = 1; (1)

задача сводится к нахождению решения этого уравнения в рациональных X, У. Решение этого уравнения основано на представлении его в виде

у2 = 1-Х2 = (1-Х)(1 + Х).

Мы не можем выразить X как рациональную функцию от (1 - Х)(1 + X), но X рационально выражается через Р" делив обе части уравнения на (1 + Х), получим

1 + Х) ~ 1 + Х*

Если положить t = то X и У будут рациональными функциями от именно:

1+Х ~

откуда

Для каждого рационального значения t эти формулы дают рациональные значения X,У,удовлетворяюш;ие (1). Обратно, каждое рациональное решение (1) получается таким образом (за исключением решения X = - 1, У = О, которое получается в пределе при стремлении t к бесконечности, но не представимо в виде (2)).

На предыдуш;ее рассуждение можно посмотреть и с геометрической точки зрения. Уравнение Х + У = 1 есть уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1. Возьмем какую-нибудь точку на этой окружности, скажем точку X = - 1, У = 0. Переменная прямая, проходягцая через эту точку, пересечет окружность в некоторой другой точке (если эта прямая не является касательной), координаты этой точки можно найти из уравнений окружности и прямой с помош;ью рацио-

нальных операций. Переменная прямая, проходящая через точку ( - 1, 0), имеет уравнение вида Y = t{X + 1); по формуле (2) можно выразить координаты точки пересечения через t. Аналогичный метод можно применить для нахождения рациональных точек на любой кривой второго порядка в предположении, что уравнение этой кривой имеет рациональные коэффициенты и что на ней можно найти хотя бы одну рациональную точку. Однако рациональных точек на кривой с рациональными коэффициентами может и не быть; например, на кривой + = 3 нет рациональных точек. Но даже если на кривой второго порядка и есть рациональные точки, часто нелегко найти хотя бы одну из них.

Формулы (2), в которых t - произвольное рациональное число, дают общее решение уравнения Х + У = 1 в рациональных числах, а потому они в принципе дают и общее решение уравнения

х + у = (3)

В целых числах. Но переход от рациональных решений уравнения (1) к целым решениям (3) все же заслуживает рассмотрения, так как иногда (в других задачах) такой переход представляет серьезные трудности. Положим = , где ряд - взаимно простые целые числа. Тогда в силу (2)

X р -д у 2рд

Z р + д Z р + д

В качестве х, у, z можно, конечно, взять числа р - д, 2рд, р + + д или числа а{р - д), 2ард, а{р + д), но х, у, z не обязаны иметь такой вид. Если три числа р - , 2рд, р+д имеют общий множитель, больший 1, то можно разделить их на этот общий множитель и получить новое решение (3) в целых числах.

Рассмотрим две возможности для взаимно простых чисел ряд. Предположим сначала, что одно из них четно, а другое нечетно. Тогда три числа р-, 2рд, р+д не имеют общих множителей, больших 1; действительно, такой множитель должен быть нечетным (ибо р - cf нечетно) и должен делить [р - 9) + + (р + д) = 2р, аналогично этот множитель должен делить 2(f, а это невозможно, так как ряд взаимно просты. Значит, в этом случае из (4) следует, что

УРАВНЕНИЕ ах + by = 157

X - т{р - Я)-> У = 2mpq z = т{р + g), (5)

где т - целое число.

Рассмотрим теперь случай, когда числа ряд нечетны. Так, полагая р + д = 2Рир - q = 2Q получим два взаимно простых числа Р и Q. Одно из них четно, а другое нечетно (так. как р = P + Q нечетно). Подставив в (4) вместо р и их выражения через Р и Q, получим после сокращения на 2 X 2PQ у p-Q

- P2 + Q2 - P2 + Q2-

В результате получились уравнения, аналогичные прежним, только X и у поменялись местами и вместо р и q стоят Р и Q.

Следовательно, все решения уравнения х + у = z в целых числах задаются формулой (5), где т, р, q - целые числа, р и q взаимно просты, причем одно из чисел р и q четно, а другое нечетно; кроме того, в формулах (5) можно, конечно, заменить

X USi у и у USi X,

Это - формулы Евклида. Простейшим решением (кроме тривиального решения, в котором одно из неизвестных равно нулю) является решение = 3, у = 4, 2: = 5, получающееся при т = 1,р = 2,5=1. Приведем несколько первых примитивных решений (т. е. решений, в которых х у, z взаимно просты, так что т = 1): (3,4, 5), (5,12,13), (8,15,17), (7, 24, 25), (21, 20, 29), (9,40,41).

Так как формула для z (если взять m = 1) имеет вид z = = р + q то мы можем сделать z точным квадратом, выбрав соответствующим образом р и 5, и, значит, получить параметрическое решение уравнения х + у = z. Повторение этого процесса дает возможность найти решение уравнения х + у = = 2:, где число к равно степени числа 2. Кроме того, формулы для этого уравнения можно вывести и из формул для уравнения

+ 2/2 = 22, применив тождества (1) главы V.

3. Уравнение ах + Ьу = z. Метод, использованный ранее для уравнения х -\-у - z, приводит к формуле для общего решения уравнения ах + у = z. В этом случае также имеется бесконечно много примитивных решений. Но вышеописанный метод неприменим к более общему уравнению