ных «доказательств».

По-видимому, любой новый метод, развитый для доказательства гипотезы Ферма, явился бы важным вкладом в теорию чисел. Примером этого могут служить работы Куммера (1810- 1893). Куммер был уверен вначале, что доказал гипотезу Ферма. Ошибку в его рассуждениях указал ему Дирихле, попытки Куммера исправить ошибку привели его к созданию новой далеко идуш;ей теории - теории идеалов в полях алгебраических чисел.

В этом элементарном обзоре мы вынуждены ограничиться доказательством гипотезы Ферма для какого-нибудь частного значения п. Простейшим является случай п = 4, в котором неразрешимость уравнения была доказана самим Ферма.

Ферма получил даже более обш;ий результат: он доказал, что уравнение

х + у = (14)

не имеет решений в натуральных числах, его доказательство дает простой пример «бесконечного спуска», являюш;егося особой формой метода доказательства по индукции. Исходя из любого предполагаемого решения уравнения (14) в натуральных числах, Ферма строит другое решение с меньшим значением z. Повторение этого процесса необходимо ведет к противоречию, гак как не суш;ествует бесконечно убываюш;их последовательностей натуральных чисел. Принцип доказательства такой же, как и в доказательстве Лежандра, описанном в предыдуш;ем пункте, только здесь он применяется для доказательства неразрешимости уравнения, в то время как там он применялся для доказательства разрешимости уравнения.

Пусть X, у, Z - натуральные числа, удовлетворяюгцие (14). Можно предполагать, что х яуяе имеют обш,его делителя, большего 1, так как на четвертую степень такого обш,его делителя уравнение можно сократить. В этом предположении числа х, ?/, z образуют примитивное решение уравнения Х + У = Z, поэтому в силу установленного в п. 2 результата они предста-вимы (возможно, после изменения порядка х и у) в виде

х=р- q\ у = 2pq, z=p + q\

где р и q - взаимно простые натуральные числа, одно из кото-

4] ПРОБЛЕМА ФЕРМА 165

рых четно, а другое нечетно. Посмотрев на первое равенство и вспоминая, что любой квадрат должен быть сравним с О или 1 по mod 4, мы видим, что р нечетно, а q четно. Полагая q = 2г, имеем

х=р-{2гГ, (у)=рг

Так как риг взаимно просты и их произведение является точным квадратом, то каждое из них должно быть точным квадратом. Полагая р = г; и г = г;, приводим первое уравнение к виду

+ {2wf = v\

Это уравнение похоже на исходное уравнение (14). Применив аналогичное рассуждение к новому уравнению, мы получим уравнение, в точности подобное (14). Из последнего уравнения следует, что

x = P-Q, 2w = 2PQ, v = P + Q,

где Р и Q - взаимно простые натуральные числа, одно из которых четно, а другое нечетно. Так как PQ = w то Р и Q должны быть точными квадратами. Если Р = Х Q = Y то рассматриваемое уравнение принимает вид

X + Y = v,

что по форме совпадает с (14). В этом уравнении X, У, г; - натуральные числа и

откуда V < Z, Ввиду сказанного ранее, этим неразрешимость уравнения (14) доказана.

Почти все современные исследования проблемы Ферма основаны на работе Куммера. В них доказывается, что если п удовлетворяет одному из некоторых условий, то уравнение (13) не разрешимо. Достаточно рассматривать простые значения п, большие двух, так как любое число, большее двух, либо делится на некоторое простое число, большее двух, либо делится на 4; и если уравнение не разрешимо для какого-нибудь значения п, то оно и подавно не разрешимо для любого кратного этого значения. До сих пор, когда находилось число п, не удовлетворяюш;ее ни одному из суш;ествуюш;их критериев, всегда удавалось спра-

виться с ним с помощью какого-нибудь нового критерия.

5. Уравнение + = + w. Хотя уравнение + уЗ 3 (частный случай уравнения Ферма) не разрешимо, уравнение х + = + имеет бесконечно много решений, отличных от очевидных решений, в которых х = z или х = w или X = -у. Формулы, дающие решение, нашел Виет (Viete) в 1591 году, но формулы, открытые в 1756-1760 годах Эйлером, являются более общими. В 1841 году формулы Эйлера упростил Вине (Binet).

Чтобы исследовать уравнение

X + y = Z + уо\ (15)

положим х + у = Х,х - y = Y,z + w = Z,z - w = W.B этих обозначениях наше уравнение принимает вид

Х{Х + ЗГ) = Z{Z + Ш), (16)

Имеет место тождество, аналогичное тождеству (1) главы V, оно выражает произведение двух чисел вида Х + ZY в такой же форме, именно:

(Х + W){Z + Ш) = {XZ + ZYWf + 3(rz - XWf.

Умножая (16) на X + ZY и деля на Z, мы получаем с помощью этого тождества такое равенство:

(Х + = [XZ + ?>YWf + 3(rZ - XWf.

Это равенство показывает, что рациональное число имеет вид y+Z(f, гдеpuq - рациональные числа, задаваемые формулами

xz + zYW yz- xw

~ Х2 + ЗГ2 ~ Х2 + ЗГ2 •

Для упрощения выкладок положим Z = 1 и будем считать X, F, W рациональными числами. В силу (17) с Z = 1 имеем

pX + 3qY = l, pY-qX = W.

Эти формулы дают возможность выразить F и VI в терминах р, q и X, где X = + Sq. Они дают

3qY = 1-рХ, 3qW = p-X.