цилиндрической поверхности будут равны нулю: Тогда ур-ние (1.162) перепишется так:

4- iA2£ = 0.

= 0.f% = 0.

d<f-

er rer (1-163>

Решая это дифференциальное уравнение, получаем следующее выражение:

Ег = Л/е [yXkr] -f ВК, [V\kr\ (1.164)

где А и 5 -постоянные интегрирования; /о - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; Кй - то же, но второго рода. Предельные значения этих функций: /о(0) = 1, /о(оо) = сх], /(о(0) = оо, /(д(оо)=0. Исходя из предельных значений функций Бесселя, постоянную В необходимо положить равной нулю. Тогда ,

£, = Жо(/Гйг). (1.165

Используя ур-ние (1.160), получаем

(1.166)

где h - видоизмененная функция Бесселя первого рода и первого порядка.

Для определения постоянной интегрирования А воспользуемся законом полного тока [см. ф-лу (1.1)]. Напряженность магнитного поля н а поверхности проводника радиуса а будет равна

Н{а) = -jj Л/j (j/TAa), а эле.мент пути интегрирования dl = ad.

Полагая, что в проводнике течет ток /, можно написать согласно (1.1)

2л

/= \ LLLAf[yV.{a)ad>.

1 шца

Отсюда

2л ak!i (/Fte)

(1.167)

Подставив значение А в ф-лы (1.165) и (1.166), получим следующие выражения для напряженности электрического и магнитного полей внутри одиночного цилиндрического проводника:

уТ(о(г„/ loiVTkr)

F = -

211 ak

/ /j iVi kr)

(1.168) (1.169)

Для определения полного сопротивления проводника Z воспользуется теоремой Умова - Пойнтинга, согласно которой

PZ = J (а) я; (а) adp, (1.170)

где Я - комплексно-сопряженное значение Я .

Производя соответствующую подстановку из выражений (1.168) и (1.169) и интегрирование, легко получаем

7 D , i,,/ Р /ito /o(/ito)

(1.171)

где Ra и Lja - сопротивление и внутренняя индуктивность проводника.

г> 1о iVi ka) im Введя обозначение - = ае.

hiVi ka)

l/i~"= е * , выражение (1.171) можно записать так: /?,-f i со = « е-<+

и имея в виду, что

где Ro = pJna - сопротивление проводника постоянному току.

Из этой формулы нетрудно записать следующие выражения для сопротивления и индуктивности цилиндрического проводника:

р - I? ь I -k

(1.172) (1.173)

*2 = - « Sin ф -f -

ka \ 4

(1.174)

характеризуют влияние поверхностного эффекта.

Для определения коэффициентов fej и 2 в зависимости от величины необходимо знать значения а и ф. На рис. 1.16 и 1.17 приведены величины ос и ф в зависимости от fea, полученные по табличным значениям функций Бесселя. В случае проводников из конкретных металлов для значений ki и kz могут быть составлены таблицы.

При малых значениях аргумента (йа:0,25) функции Бесселя первого рода можно с достаточной степенью точности записать так:

/ЛКГН«1 + {-. л(кгн«

1 + 1

Подставив эти значения в выражение (1.171), получим

Ofi 0,8 12 Г,6 2,0 2,h 2JS3,0

L (yi ka) im.

Рис. 1.16. Зависимость -г- = для значе-

I, (vi ka)

НИИ *в=0-ЬЗ

12 10 & 6 4 2

vo

-1fl8 Щ -Щ

О

12 16 20 Zif 28 ZO

h(v\ka) )ф

Рис. 1 17. Зависимость -~- = ае для значе-

/lOi ka)

НИН >ta=3-30

Отсюда

(1.175)

При высоких частотах (fealO) мож«о принять, что"

(1.176)

и из выражения (1.171) определить

2па ~ An а у п f

Если принять, что частота / выражена в герцах, удельное сопротивление р в Ом-мм/м, а радиус проводника а в миллиметрах, то эти формулы можно записать следующим образом:

п K/pfx-10-

Ад--,

L. - L i/JiPdIL

(/?а, Ом/м; Lia, Г/м).

(1.177)

1.8. ПОЛНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ МНОГОСЛОЙНОГО ПРОВОДНИКА

В ряде практических случаев оказывается необходимым определение полного сопротивления проводника, имеющего одно или несколько покрытий. Рассмотрим метод определения полного сопротивления такого многослойного проводника, показанного на рис. 1.18. Прежде чем перейти к непосредственному решению этой задачи, несколько преобразуем основные уравнения электромагнитного поля.

В цилиндрической системе координат при совмещении оси z с осью проводника для волн типа ТЕМ останутся лишь компоненты поля Eir, z), Яф {г, z) и Ег{г, z), зависящие от г и 2. Для этих волн уравнения Максвелла в однородной и изотропной среде при синусоидальном изменении тока будут иметь вид

Рис. I1..18. Многослонный проводник

дг д г

дг д дг

НЛг, 2) = -f-i-+i(oe, )£,(•. г). jH{r, 2)] = r( + i(oe,)f,(-, г),

Ег (г, )--~Ег (г. 2) = - i (И\1а (г, 2),

(1.178) (1.179) (1.180)

где р - удельное сопротивление среды; Ъа, ма - диэлектрическая и магнитная проницаемость среды.

Исключая из ур-ний (1.178) -(1.180) Ег я Е, получаем

Я (г, 2)4- - -Я (л, 2)---Я„(Г, 2)4-

+ -Я„(г, z) = 6HJr, z).

4- i собд i (оцд.

(1.181)

(1.182)

Дифференциальное ур-ние (1.181) может быть решено с помощью разделения переменных. Сделаем подстановку

/фС-. г) = Н(г)Н{г), (1.183)

где Яф (г) является функцией только г, а (z)-функцией только Z.

Беря частные производные по г и z из выражения (1.183) и подставляя найденные значения в ф-лу (1.181), получаем после деления каждого члена равенства на произведение Яф {г)Н (г)

Ф (г)

Ф (Z)

(1.184)

В этом равенстве левая часть зависит от г, а правая-от z. Поэтому равенство имеет смысл только тогда, когда каждая из этих частей равна одной и той же постоянной величине, имеющей произвольное значение, например, Тогда это уравнение разбивается на два отдельных уравнения:

dHjr) JL дН(г) 1

дг г дг

-т + -Иф(-) = о

Яф(г)

а% (г)

(1.185) (1.186)

Уравнение (1.185) представляет собой дифференциальное ypaBHCHiiC второго порядка (уравнение Бссселя) п характеризует проникновение электромагнитной энергии внутрь проводника.

Дифференциальное ур-ние (1.186) характеризует распространение электромагнитной энергии вдоль проводника с коэффициентом распространения у. Решение этого уравнения, являющегося телеграфным уравнением в дифференциальной форме, приводит к основным уравнениям передачи однородной линии.

Рассмотрим решение ур-ния (1.185). Введем обозначение &-у=т, тогда ур-ние (1.185) можно переписать так:

фМО.

(1.187)

Решением этого уравнения является выражение

Н(г) = А1,(тг) + ВКАг), (1.188)

где /], Ki-модифицированные функции Бесселя первого и второго рода первого порядка; А, В - постоянные интегрирования.

Ранее было показано, что изменение составляющих электромагнитного поля в направлении оси z при распространении электромагнитной энергии по проводнику, имеющему постоянную распространения у, происходит по экспоненциальному закону, т. е. можно принять, что Яф (z) пропорциональна е. Тогда в соответствии с ур-ниями (1.183) и (1.188) общее решение ур-ния (1.181) можно записать следующим образом:

Я (г, Z) = IAI, (тг) 4- BKi (тг)] е-У\ (1.189)

Используя ур-ния (1.178) и (1.179), получаем

ЕАг, г) = Ег(г, z) =

1 /р 4- \Ша

1 /р 4- i ШЕо

[Л/о {тг)-ВКо{1Пг)\ е [А1{тг) + ВКг{тг)\ е

(1.190) (1.191)

Эти уравнения и используем при определении полного сопротивления многослойного проводника. Допустим, что проводник радиуса а (см. рис. 1.8) покрывается различными слоями, имеющими соответственно характеристики цг, рг, ег; цз, ipa, ез; ... ; рп, Рп, Е„. При этом слои, покрывающие проводник, могут быть как проводящими, так и диэлектрическими. Наружный слой рассматриваемого многослойного проводника примем проводящим.

Для любого слоя, ограниченного коаксиальными поверхностями, поперечная электромагнитная волна (ТЕМ) будет иметь компоненты электромагнитного поля Е, Яф и Ег, зависящие от координат г и 2. Если принять, что компоненты поля по Z изменяются по закону е-, то ур-ния (1.178) -(1.180) после несложных преобразований можно записать следующим образом:

-17 =-i")

(l/p4-icu8a)r

~f[~rH)={\lp + -z,)rE,,

(1.192) (1.193)