отношении базисы сопряженных направлений весьма инте-„ ресны

Для установления связи разложений весового вектора с методом парциальных диаграмм обратимся вновь к задаче среднеквадратической аппроксимации (2 46) и, используй преобразование конгруэнтности А, перепишем уравнение (2 48) в виде

- n/d - n/d

\ А\{и)\-{и)Ар{и)с1и Л-Ш= 5 f{u)A~V(u)p{u)du.

Учитывая, что Л~У(м) определяет дискретное преобразо-ванне Фурье векторов-столбцов Л, обозначим W(u) = Л~У(м) - вектор, компонентами которого являются парциальные диаграммы (и) Тогда получим

г n/d -1 л/d

5 W(«)W~(«)/7(«)rf« G= j (и) f (и) p (и) du, (2 96)

.~nfd J -л/d

где вектор G определен выражением (2 95).

Наиболее простое решение относительно компонент вектора G получается, если Фурье-преобразование векторов-столбцов матрицы Л реализует набор парциальных диаграмм {ф(м)}, ортогональных с весом р(м) на интервале [-n/d, n/d], т. е

, (Vk при J = k,

%(«)Л«)Р(«)« = {о„р,,,,,1,2, ../С, (297)

n/d -n/d

- норма k-k парциальной диаграммы в метрике, заданной р(и)

При выполнении (2 97) компоненты вектора G определяются соотношением

gk=vr \ kiu)fiu)piu)du (2 98)

-n/d

Отсюда следует, что gk являются обобщенными коэффициентами Фурье-разложения f (и) по системе функций {\k{u)}.

Учитывая, что для дискретных мешающих источников весовая функция (2 49) имеет дельтообразный характер, интегралы следует понимать в смысле Стильтьеса. Подставляя (2 49)

в (2 97), получим

- К при J=k,

(2 99)

л/d м

Ij); (М) % (М) СМ-f- 2 , «И/("т)П"т) = jf -Я/d т==\

Из (2 99) следует, что левая часть выражения представляет собой элемент bk, - РВпшР/ преобразованной матрицы А~ВлщА, поэтому условия (2 99) выполняются, если Fft=Ufe - собственные векторы Впш (при этом уа = Яй - собственные значения) либо векторы {Fk} ортогональны в метрике Впш, т е

РГВпшР/ == о при уфЬ

(2 100)

В первом случае парциальные диаграммы удовлетворяют двум условиям при [фк

S / (") (") = о, Y, = 6.

-ft/d я = 1

У, А = 1, 2, . . , /С,

а во втором они образуют систему полиномов, ортогональных с весом р (и) на интервале [-л/d, n/d], которые, как известно [30, 51], связаны трехчленными рекуррентными соотношениями Аналогичными свойствами обладают парциальные диаграммы, соответствующие базису {k} сопряженных градиентов

Таким образом, установлено, что наиболее простое решение задачи аппроксимационного синтеза заданной диаграммы по критерию МСКО реализуется в базисе методов сопряженных направлений, причем векторы парциальных амплитудно-фазовых распределений определяются однозначно (см § 2 7) в М-мерном подпространстве Для того чтобы преобразование А было невырожденным, базис {F,} (/ = 1, ., М) необходимо пополнить любойлинейно независимой системой векторов Fm+i, Fk+2, . ,Fl+m, где LK-М При решении ряда практических задач на выбор базиса t-мерного подпространства -могут быть наложены некоторые условия, связанные, например, е контролем уровня боковых лепестков, формированием разностных диаграмм и т п

Если полагать, что базисные векторы М-мерного подпространства удовлетворяют условию (2 100), а пополнение осуществлено ортогональной системой векторов, то ковариационная матрица преобразованием А приводится к диагональному виду

Г {fD

L{F+J-I

diaglF/f(l + <7,)

{F/} . (Fm + zV О

diag IF

M + i\ -J

(2 101)

где qj - отношение помеха/шум, определенное в (2 84)

Используя полученный результат, определим весовой вектор в каноническом базисе

0~ = уга(л~в„п1л) =

Vo~F, Vo~F„

(2 102)

F 12 > • > I P U

fM + I I I M + i I J

Физический смысл компонент вектора легко устанавливается, если учесть, что скалярные произведения вида vq~fj =

= г5; (ыо) являются коэффициентами передачи парциальных диаграмм в опорном направлении Ыо С учетом этого коэффициенты qi можно преобразовать к виду

9;=Jf7F Е "-l"-)! (2 103)

где ij:/(Ыт) -коэффициент передачи /-й парциальной диаграммы в направлении на т-й мешающий источник Кроме того, согласно равенству Парсеваля

f,P= j \,\Ыи, (2104)

-я/d

поэтому коэффициенты вида f; 2 (1-i-;) - V; из (2 99) и характеризуют полную мощность, принятую /-Й парциальной диаграммой Вследствие указанных соотношений /-я компонента вектора g может быть представлена выражением

g,--.--, (2 105)

т-я/d m = l

которое определяет коэффициент передачи /-й парциальной диаграммы в опорном направлении, нормированный к принятой мощности мешающих излучений Подставляя (2 102) в (2 95), найдем

W = AO=.f -(-f - = W.-fW. (2106)

Полученное разложение весового вектора устанавливает связь между задачей аппроксимационного синтеза методом парциальных диаграмм и каноническим базисом представления