Чтобы получить решение уравнения с 1 вместо -1, продолжим

Л / о 1 тт М 70

ряд подходяш;их до -- (здесь 2п + 1 - 9). Имеем -- = --,

X) 9 Х)4 13

следуюш;ие подходяш;ие дроби имеют вид:

727 1524 2251 3775 9801 135 283 418 701 1820 * Отсюда найдем, что х = 9801, у = 1820 - решение уравнения

х - 29у = 1.

Можно доказать, что описанный выше процесс приводит всегда к наименьшему решению. Наименьшие решения уравнения - Ny = ±1 вплоть до TV = 50 приведены в табл. L

Использованные в этом пункте методы позволяют установить егце некоторые факты, относягциеся к уравнению Пелля. Во-первых, это уравнение имеет бесконечно много решений, и все его решения получаются из подходяш;их дробей, соответ-ствуюш;их элементам Qn в конце каждого периода. Если п нечетно, т. е. у непрерывной дроби есть средний элемент (как в примере с л/21), все эти решения суть решения уравнения с +1. Если же п четно, т. е. если среднего элемента нет (как в примере с л/29), то выбранные так подходяш;ие дроби попеременно дают решения уравнений с -1 и +1.

Все решения могут быть получены из первого решения и прямым вычислением, без дальнейшего разложения в непрерывную дробь. Если Хо, 2/0 ~ наименьшее решение уравнения

х - Ny = ±1, задаваемое подходяш;ей дробью -, то обш;ее

решение этого уравнения получается по формуле

x + y\/N = {xo + yoVNy,

где г = 1, 2, 3, ... Так, в примере с л/29 находим

9801 + 182029 = (70 + 1329)1

Различие случаев четного и нечетного п приводит к задачам, полное решение которых до сих пор неизвестно. Например, нет способа полностью охарактеризовать числа TV, для которых п четно. Если уравнение х - Ny - -1 разрешимо, то разрешимо и сравнение +1 = О (mod TV). Отсюда следует, что в этом

случае N не может делиться ни на 4, ни на простое вида 4А; + 3 (П1, 3). Как мы увидим позже (VI, 5), такое N представимо в виде u + v с взаимно простыми и и v. Это условие является необходимым условием разрешимости уравнения - Ny = - 1, но это условие не достаточное; например, для числа 7V = 34 указанное условие выполнено, однако уравнение - Ny = - 1 неразрешимо.

Решения более обш;его уравнения

- Ny = ±М,

где М - целое положительное, меньшее чем /N, тесно связаны с разложением в непрерывную дробь. Можно доказать, что каждое решение любого из таких уравнений порождается некоторой подходяшей дробью в непрерывной дроби для /N.

12. Геометрическая интерпретация непрерывных дробей. Замечательную геометрическую интерпретацию непрерывной дроби иррационального числа предложил в 1895 году Клейн (F. Klein). Пусть а - иррациональное число, предполагаемое для простоты положительным. Рассмотрим всевозможные точки плоскости с целыми положительными координатами и предположим, что в этих точках расставлены колышки. Прямая у = ах ИИ через один из этих колышков не пройдет. Представим себе, что вдоль этой прямой натянута веревка, один конец которой закреплен в бесконечно удаленной точке этой прямой. Если другой конец веревки, расположенный в начале координат, отвести в сторону, веревка зацепится за некоторые колышки; если его отвести в другую сторону, то веревка зацепится за какие-то другие колышки. Колышки (лежагцие под прямой) расположены в точках с координатами (Бо?о)? (2,2) ... соответствуюш;их подходяш;им дробям, меньшим а. Другой ряд колышков (над прямой) состоит из точек с координатами (5i,i), (Бз,Лз), ... соответствуюш;их подходяш;им дробям, большим а. Каждое из положений веревки образует ломаную линию, приближаюш;уюся к прямой у = ах.

Диаграмма иллюстрирует случай

/5 1 1 1 1

Подходягцие дроби здесь равны