подстановки, примененные одна за другой, можно заменить одной унимодулярной подстановкой.

Действительно, если сначала применяется подстановка

X = рХ + qY, у = гХ + sY, а затем подстановка

X = P + q7], Y = R + St], то эти подстановки можно заменить одной подстановкой

x=p{PC + Qv) + q{RC + Sv) y = r{P + q7]) + s{R + Sv).

Результирующая подстановка имеет целые коэффициенты, и ее определитель равен

(рР + qR){rQ + sS) -{pQ + qS){rP + sR) =

= {ps-qr){PS -QR) = 1.

Очевидно (как мы это уже отмечали в одном частном случае), что задача представления регпается одинаково для эквивалентных форм. Аналогичное замечание можно сделать и в связи с задачей собственного представления. Говорят, что число п собственно представимо формой (а, 6, с), если п = ах + Ьху + су, где X иу - взаимно простые целые числа. Унимодулярная подстановка преобразует взаимно простые пары х, у во взаимно простые пары X,Y и обратно; действительно, если X hY имеют общий множитель, то х и у имеют тот же общий множитель. Следовательно, если две формы эквивалентны, то существует унимодулярная подстановка, переводящая собственные представления числа первой формой в собственные представления этого числа второй формы.

3. Дискриминант. Дискриминантом квадратичной формы (а, 6, с) называется число - 4ас. Так, дискриминант формы (2,0,3) равен -24; дискриминант формы (2,4,5) также равен 42 - 4 • 2 • 5 = -24.

Заметим, что дискриминанты эквивалентных форм равны. Это проще всего доказать непосредственным вычислением. Действительно, применим подстановку (1) к форме ах + Ьху + су;

3] ДИСКРИМИНАНТ 135

получим форму ЛХ + BXY + СУ, где А = ар + Ьрг + сг;

Б = 2apq + b{ps + qr) + 2crs] (4)

С = aq + 65 + c.

Можно проверить, что

-АС= (6 - ac){ps - qrf. (5)

Так как - gr = 1, то формы (а, 6, с) и (Л, Б, С) имеют один и тот же дискриминант. Тождество (5), конечно, не зависит от природы коэффициентов р, д, г, 5 в подстановке. Это чисто алгебраическое соотношение, так что мы встречаемся здесь с частным случаем весьма обш;ей ситуации. Функция коэффициентов алгебраической формы, например - 4ас в нашем случае, не меняюгцаяся при преобразовании формы подстановкой с единичным определителем, называется алгебраическим инвариантом формы. Дискриминант бинарной квадратичной формы - простейший пример такого инварианта.

Эквивалентные формы имеют одинаковый дискриминант; однако формы одного дискриминанта могут не быть эквивалентными. Например, формы (1,0,6) и (2,0,3) имеют одинаковый дискриминант -24, но не являются эквивалентными. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что форма х + бу представляет число 1 при я; = 1иу = 0,вто время как форма 2х + Зу ни при каких целых х и у ие принимает значение 1.

Дискриминант d квадратичной формы - целое число, положительное, отрицательное или нуль. Не каждое целое число может служить дискриминантом формы: 6 - 4ас = 6 (mod 4), любой квадрат сравним с О или 1 по mod 4. Значит, d должно быть сравнимо с О или 1 по mod 4. Возможные значения дискриминанта таковы:

-11, -8, -7, -4, -3, О, 1, 4, 5, 8, 9, ...

Каждое из таких чисел служит дискриминантом по крайней мере одной формы. В самом деле, пусть d - любое число, сравнимое с О или 1 по mod 4, мы можем удовлетворить равенству - Аас = (i, полагая а = 1 и взяв b равным О или 1, в

зависимости от того, сравнимо d с О или с 1 но mod 4; тогда с будет равно соответственно -d или - - 1). Таким образом, мы получаем для каждого d фиксированную форму дискриминанта d:

(l,0,-rf) или (l,0,-(rf-l))

в зависимости от того, какое из сравнений d = О (mod 4) или d = 1 (mod 4) имеет место. Такая форма называется главной формой дискриминанта d. В частности, главной формой дискриминанта -4 является форма (1,0,1) или + у, а главная форма дискриминанта 5 - это форма (1,1, -1), или х + ху - у.

Имеется важное отличие между формами положительного и формами отрицательного дискриминантов. (Мы не будем рассматривать формы нулевого дискриминанта, так как такие формы являются просто квадратами линейных форм.) Рассмотрим сначала формы отрицательного дискриминанта. Умножим форму на 4а и «выделим полный квадрат»:

Ааах + Ьху + су) = Аах + АаЪху + 4ас?/ = = {2ах + byf + (4ас - 9)у.

Число 4ас - положительно. Поэтому если хоть одно из чисел X иу ш равно О, то полученное выражение положительно; если же и X и у равны О, то это выражение также равно 0.

Таким образом, все числа, представляемые формой, имеют один и тот же знак: все они положительны, если а положительно, и все отрицательны, если а отрицательно. Такую форму называют определенной, точнее, положительно определенной или отрицательно определенной в зависимости от знака а. Отрицательно определенную форму можно всегда преобразовать в положительно определенную, изменив знаки всех коэффициентов, поэтому, исследуя определенные формы, достаточно рассматривать положительно определенные формы. Примерами положительно определенных форм могут служить формы (1,3,7) дискриминанта -19 или (5,-7,5) дискриминанта -51.

Рассмотрим теперь формы положительного дискриминанта. Для этих форм выражение 4ас - отрицательно; положим